Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67681 / 65758
↖ ↑ ↗
← S  0.609730°
E  5.891418°		 ← 305.41 m → S  0.609730°
E  5.894165°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.612476°
E  5.891418°		 ← 305.41 m →
93 260 m²		 S  0.612476°
E  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516368865966797 y=0.501697540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516368865966797 × 217)
    floor (0.516368865966797 × 131072)
    floor (67681.5)     		tx = 67681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501697540283203 × 217)
    floor (0.501697540283203 × 131072)
    floor (65758.5)     		ty = 65758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67681 / 65758 ti = "17/67681/65758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67681/65758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67681 ÷ 217
    67681 ÷ 131072     		x = 0.516365051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65758 ÷ 217
    65758 ÷ 131072     		y = 0.501693725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516365051269531 × 2 - 1) × π
    0.0327301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10282465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501693725585938 × 2 - 1) × π
    -0.003387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0106419917156525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10282465} λ = 0.10282465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0106419917156525))-π/2
    2×atan(0.989414433940348)-π/2
    2×0.780077267972338-π/2
    1.56015453594468-1.57079632675     		φ = -0.01064179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10282465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.891418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01064179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.609730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67681 KachelY 65758 0.10282465 -0.01064179 5.891418 -0.609730
    Oben rechts KachelX + 1 67682 KachelY 65758 0.10287259 -0.01064179 5.894165 -0.609730
    Unten links KachelX 67681 KachelY + 1 65759 0.10282465 -0.01068972 5.891418 -0.612476
    Unten rechts KachelX + 1 67682 KachelY + 1 65759 0.10287259 -0.01068972 5.894165 -0.612476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01064179--0.01068972) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01064179--0.01068972) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(-0.01064179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999943376687173 × 6371000     		do = 305.408445782755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(-0.01068972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999942865487228 × 6371000     		du = 305.408289649134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01064179)-sin(-0.01068972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999943376687173-0.999942865487228)×R²
    abs(0.10287259-0.10282465)×5.11199944708274e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.11199944708274e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.11199944708274e-07×40589641000000     		ar = 93260.1191625807m²