Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67678 / 65629
↖ ↑ ↗
← S  0.255431°
E  5.883179°		 ← 305.42 m → S  0.255431°
E  5.885926°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.258178°
E  5.883179°		 ← 305.42 m →
93 264 m²		 S  0.258178°
E  5.885926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516345977783203 y=0.500713348388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516345977783203 × 217)
    floor (0.516345977783203 × 131072)
    floor (67678.5)     		tx = 67678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500713348388672 × 217)
    floor (0.500713348388672 × 131072)
    floor (65629.5)     		ty = 65629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67678 / 65629 ti = "17/67678/65629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67678/65629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67678 ÷ 217
    67678 ÷ 131072     		x = 0.516342163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65629 ÷ 217
    65629 ÷ 131072     		y = 0.500709533691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516342163085938 × 2 - 1) × π
    0.032684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10268084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500709533691406 × 2 - 1) × π
    -0.0014190673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00445813166466522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10268084} λ = 0.10268084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00445813166466522))-π/2
    2×atan(0.995551791053234)-π/2
    2×0.783169104948837-π/2
    1.56633820989767-1.57079632675     		φ = -0.00445812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10268084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.883179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00445812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.255431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67678 KachelY 65629 0.10268084 -0.00445812 5.883179 -0.255431
    Oben rechts KachelX + 1 67679 KachelY 65629 0.10272878 -0.00445812 5.885926 -0.255431
    Unten links KachelX 67678 KachelY + 1 65630 0.10268084 -0.00450605 5.883179 -0.258178
    Unten rechts KachelX + 1 67679 KachelY + 1 65630 0.10272878 -0.00450605 5.885926 -0.258178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00445812--0.00450605) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00445812--0.00450605) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10268084-0.10272878) × cos(-0.00445812) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999990062599492 × 6371000     		do = 305.422704862161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10268084-0.10272878) × cos(-0.00450605) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		du = 305.422639248889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00445812)-sin(-0.00450605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990062599492-0.999989847773877)×R²
    abs(0.10272878-0.10268084)×2.14825614741621e-07×R²
    4.79400000000102e-05×2.14825614741621e-07×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.14825614741621e-07×40589641000000     		ar = 93264.4871647537m²