Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67664 / 66001
↖ ↑ ↗
← S  1.277055°
E  5.844726°		 ← 305.35 m → S  1.277055°
E  5.847473°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.279801°
E  5.844726°		 ← 305.35 m →
93 242 m²		 S  1.279801°
E  5.847473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516239166259766 y=0.503551483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516239166259766 × 217)
    floor (0.516239166259766 × 131072)
    floor (67664.5)     		tx = 67664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503551483154297 × 217)
    floor (0.503551483154297 × 131072)
    floor (66001.5)     		ty = 66001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67664 / 66001 ti = "17/67664/66001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67664/66001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67664 ÷ 217
    67664 ÷ 131072     		x = 0.5162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66001 ÷ 217
    66001 ÷ 131072     		y = 0.503547668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    0.032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10200972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503547668457031 × 2 - 1) × π
    -0.0070953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0222906583233261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10200972} λ = 0.10200972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0222906583233261))-π/2
    2×atan(0.97795594270265)-π/2
    2×0.774253757090841-π/2
    1.54850751418168-1.57079632675     		φ = -0.02228881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10200972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02228881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.277055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67664 KachelY 66001 0.10200972 -0.02228881 5.844726 -1.277055
    Oben rechts KachelX + 1 67665 KachelY 66001 0.10205766 -0.02228881 5.847473 -1.277055
    Unten links KachelX 67664 KachelY + 1 66002 0.10200972 -0.02233674 5.844726 -1.279801
    Unten rechts KachelX + 1 67665 KachelY + 1 66002 0.10205766 -0.02233674 5.847473 -1.279801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02228881--0.02233674) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02228881--0.02233674) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10200972-0.10205766) × cos(-0.02228881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999751614757611 × 6371000     		do = 305.349876753515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10200972-0.10205766) × cos(-0.02233674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999750545395043 × 6371000     		du = 305.349550142661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02228881)-sin(-0.02233674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999751614757611-0.999750545395043)×R²
    abs(0.10205766-0.10200972)×1.06936256838441e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.06936256838441e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.06936256838441e-06×40589641000000     		ar = 93242.2083762815m²