Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67663 / 66000
↖ ↑ ↗
← S  1.274309°
E  5.841980°		 ← 305.29 m → S  1.274309°
E  5.844726°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.277055°
E  5.841980°		 ← 305.29 m →
93 203 m²		 S  1.277055°
E  5.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516231536865234 y=0.503543853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516231536865234 × 217)
    floor (0.516231536865234 × 131072)
    floor (67663.5)     		tx = 67663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503543853759766 × 217)
    floor (0.503543853759766 × 131072)
    floor (66000.5)     		ty = 66000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67663 / 66000 ti = "17/67663/66000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67663/66000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67663 ÷ 217
    67663 ÷ 131072     		x = 0.516227722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66000 ÷ 217
    66000 ÷ 131072     		y = 0.5035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516227722167969 × 2 - 1) × π
    0.0324554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10196179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0222427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10196179} λ = 0.10196179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0222427214237061))-π/2
    2×atan(0.978002824002171)-π/2
    2×0.774277719600032-π/2
    1.54855543920006-1.57079632675     		φ = -0.02224089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10196179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.841980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02224089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.274309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67663 KachelY 66000 0.10196179 -0.02224089 5.841980 -1.274309
    Oben rechts KachelX + 1 67664 KachelY 66000 0.10200972 -0.02224089 5.844726 -1.274309
    Unten links KachelX 67663 KachelY + 1 66001 0.10196179 -0.02228881 5.841980 -1.277055
    Unten rechts KachelX + 1 67664 KachelY + 1 66001 0.10200972 -0.02228881 5.844726 -1.277055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02224089--0.02228881) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02224089--0.02228881) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10196179-0.10200972) × cos(-0.02224089) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999752681601075 × 6371000     		do = 305.286508351658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10196179-0.10200972) × cos(-0.02228881) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999751614757611 × 6371000     		du = 305.286182578172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02224089)-sin(-0.02228881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999752681601075-0.999751614757611)×R²
    abs(0.10200972-0.10196179)×1.06684346357078e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.06684346357078e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.06684346357078e-06×40589641000000     		ar = 93203.4084072175m²