Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67656 / 65752
↖ ↑ ↗
← S  0.593251°
E  5.822754°		 ← 305.35 m → S  0.593251°
E  5.825500°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.595998°
E  5.822754°		 ← 305.35 m →
93 241 m²		 S  0.595998°
E  5.825500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516178131103516 y=0.501651763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516178131103516 × 217)
    floor (0.516178131103516 × 131072)
    floor (67656.5)     		tx = 67656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501651763916016 × 217)
    floor (0.501651763916016 × 131072)
    floor (65752.5)     		ty = 65752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67656 / 65752 ti = "17/67656/65752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67656/65752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67656 ÷ 217
    67656 ÷ 131072     		x = 0.51617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65752 ÷ 217
    65752 ÷ 131072     		y = 0.50164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0103543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10162623} λ = 0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0103543703179321))-π/2
    2×atan(0.98969905163187)-π/2
    2×0.780221070746248-π/2
    1.5604421414925-1.57079632675     		φ = -0.01035419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01035419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.593251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67656 KachelY 65752 0.10162623 -0.01035419 5.822754 -0.593251
    Oben rechts KachelX + 1 67657 KachelY 65752 0.10167416 -0.01035419 5.825500 -0.593251
    Unten links KachelX 67656 KachelY + 1 65753 0.10162623 -0.01040212 5.822754 -0.595998
    Unten rechts KachelX + 1 67657 KachelY + 1 65753 0.10167416 -0.01040212 5.825500 -0.595998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01035419--0.01040212) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01035419--0.01040212) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.01035419) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99994639585363 × 6371000     		do = 305.345661329058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.01040212) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99994589843759 × 6371000     		du = 305.345509437086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01035419)-sin(-0.01040212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994639585363-0.99994589843759)×R²
    abs(0.10167416-0.10162623)×4.97416039912935e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.97416039912935e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.97416039912935e-07×40589641000000     		ar = 93240.9478219654m²