Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67655 / 65991
↖ ↑ ↗
← S  1.249596°
E  5.820007°		 ← 305.35 m → S  1.249596°
E  5.822754°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.252342°
E  5.820007°		 ← 305.35 m →
93 243 m²		 S  1.252342°
E  5.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516170501708984 y=0.503475189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516170501708984 × 217)
    floor (0.516170501708984 × 131072)
    floor (67655.5)     		tx = 67655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503475189208984 × 217)
    floor (0.503475189208984 × 131072)
    floor (65991.5)     		ty = 65991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67655 / 65991 ti = "17/67655/65991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67655/65991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67655 ÷ 217
    67655 ÷ 131072     		x = 0.516166687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65991 ÷ 217
    65991 ÷ 131072     		y = 0.503471374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516166687011719 × 2 - 1) × π
    0.0323333740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10157829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503471374511719 × 2 - 1) × π
    -0.0069427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0218112893271255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10157829} λ = 0.10157829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0218112893271255))-π/2
    2×atan(0.978424856843703)-π/2
    2×0.774493383325705-π/2
    1.54898676665141-1.57079632675     		φ = -0.02180956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10157829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.820007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02180956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.249596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67655 KachelY 65991 0.10157829 -0.02180956 5.820007 -1.249596
    Oben rechts KachelX + 1 67656 KachelY 65991 0.10162623 -0.02180956 5.822754 -1.249596
    Unten links KachelX 67655 KachelY + 1 65992 0.10157829 -0.02185749 5.820007 -1.252342
    Unten rechts KachelX + 1 67656 KachelY + 1 65992 0.10162623 -0.02185749 5.822754 -1.252342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02180956--0.02185749) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02180956--0.02185749) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10157829-0.10162623) × cos(-0.02180956) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999762180973216 × 6371000     		do = 305.353103947735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10157829-0.10162623) × cos(-0.02185749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999761134575504 × 6371000     		du = 305.35278435094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02180956)-sin(-0.02185749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999762180973216-0.999761134575504)×R²
    abs(0.10162623-0.10157829)×1.04639771181247e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.04639771181247e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.04639771181247e-06×40589641000000     		ar = 93243.1949097772m²