Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67652 / 65724
↖ ↑ ↗
← S  0.516351°
E  5.811768°		 ← 305.41 m → S  0.516351°
E  5.814514°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.519097°
E  5.811768°		 ← 305.41 m →
93 262 m²		 S  0.519097°
E  5.814514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516147613525391 y=0.501438140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516147613525391 × 217)
    floor (0.516147613525391 × 131072)
    floor (67652.5)     		tx = 67652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501438140869141 × 217)
    floor (0.501438140869141 × 131072)
    floor (65724.5)     		ty = 65724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67652 / 65724 ti = "17/67652/65724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67652/65724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67652 ÷ 217
    67652 ÷ 131072     		x = 0.516143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65724 ÷ 217
    65724 ÷ 131072     		y = 0.501434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516143798828125 × 2 - 1) × π
    0.03228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10143448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.00286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10143448} λ = 0.10143448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00901213712857056))-π/2
    2×atan(0.991028350461383)-π/2
    2×0.780892155828033-π/2
    1.56178431165607-1.57079632675     		φ = -0.00901202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10143448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00901202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.516351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67652 KachelY 65724 0.10143448 -0.00901202 5.811768 -0.516351
    Oben rechts KachelX + 1 67653 KachelY 65724 0.10148242 -0.00901202 5.814514 -0.516351
    Unten links KachelX 67652 KachelY + 1 65725 0.10143448 -0.00905995 5.811768 -0.519097
    Unten rechts KachelX + 1 67653 KachelY + 1 65725 0.10148242 -0.00905995 5.814514 -0.519097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00901202--0.00905995) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00901202--0.00905995) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10143448-0.10148242) × cos(-0.00901202) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		do = 305.413337278517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10143448-0.10148242) × cos(-0.00905995) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99995895893373 × 6371000     		du = 305.413205002029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00901202)-sin(-0.00905995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999959392022597-0.99995895893373)×R²
    abs(0.10148242-0.10143448)×4.33088867435316e-07×R²
    4.79400000000102e-05×4.33088867435316e-07×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.33088867435316e-07×40589641000000     		ar = 93261.6164821903m²