Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67632 / 65776
↖ ↑ ↗
← S  0.659165°
E  5.756836°		 ← 305.41 m → S  0.659165°
E  5.759583°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.661912°
E  5.756836°		 ← 305.41 m →
93 279 m²		 S  0.661912°
E  5.759583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515995025634766 y=0.501834869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515995025634766 × 217)
    floor (0.515995025634766 × 131072)
    floor (67632.5)     		tx = 67632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501834869384766 × 217)
    floor (0.501834869384766 × 131072)
    floor (65776.5)     		ty = 65776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67632 / 65776 ti = "17/67632/65776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67632/65776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67632 ÷ 217
    67632 ÷ 131072     		x = 0.5159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65776 ÷ 217
    65776 ÷ 131072     		y = 0.5018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5159912109375 × 2 - 1) × π
    0.031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10047574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10047574} λ = 0.10047574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(0.988561071873836)-π/2
    2×0.779645862339042-π/2
    1.55929172467808-1.57079632675     		φ = -0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10047574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67632 KachelY 65776 0.10047574 -0.01150460 5.756836 -0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 67633 KachelY 65776 0.10052368 -0.01150460 5.759583 -0.659165
    Unten links KachelX 67632 KachelY + 1 65777 0.10047574 -0.01155254 5.756836 -0.661912
    Unten rechts KachelX + 1 67633 KachelY + 1 65777 0.10052368 -0.01155254 5.759583 -0.661912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01150460--0.01155254) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01150460--0.01155254) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10047574-0.10052368) × cos(-0.01150460) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 305.40552778569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10047574-0.10052368) × cos(-0.01155254) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999933270151933 × 6371000     		du = 305.405358986839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01150460)-sin(-0.01155254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999933270151933)×R²
    abs(0.10052368-0.10047574)×5.52667403175278e-07×R²
    4.79400000000102e-05×5.52667403175278e-07×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.52667403175278e-07×40589641000000     		ar = 93278.6835641438m²