Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67629 / 67623
↖ ↑ ↗
← S  5.722579°
E  5.748596°		 ← 303.90 m → S  5.722579°
E  5.751343°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S  5.725312°
E  5.748596°		 ← 303.90 m →
92 355 m²		 S  5.725312°
E  5.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515972137451172 y=0.515926361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515972137451172 × 217)
    floor (0.515972137451172 × 131072)
    floor (67629.5)     		tx = 67629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515926361083984 × 217)
    floor (0.515926361083984 × 131072)
    floor (67623.5)     		ty = 67623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67629 / 67623 ti = "17/67629/67623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67629/67623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67629 ÷ 217
    67629 ÷ 131072     		x = 0.515968322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67623 ÷ 217
    67623 ÷ 131072     		y = 0.515922546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515968322753906 × 2 - 1) × π
    0.0319366455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10033193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515922546386719 × 2 - 1) × π
    -0.0318450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.100044309507057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10033193} λ = 0.10033193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.100044309507057))-π/2
    2×atan(0.904797326024235)-π/2
    2×0.73545924460994-π/2
    1.47091848921988-1.57079632675     		φ = -0.09987784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10033193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.748596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09987784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.722579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67629 KachelY 67623 0.10033193 -0.09987784 5.748596 -5.722579
    Oben rechts KachelX + 1 67630 KachelY 67623 0.10037987 -0.09987784 5.751343 -5.722579
    Unten links KachelX 67629 KachelY + 1 67624 0.10033193 -0.09992554 5.748596 -5.725312
    Unten rechts KachelX + 1 67630 KachelY + 1 67624 0.10037987 -0.09992554 5.751343 -5.725312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09987784--0.09992554) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dl = 303.896699999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09987784--0.09992554) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dr = 303.896699999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10033193-0.10037987) × cos(-0.09987784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995016353503917 × 6371000     		do = 303.903606081012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10033193-0.10037987) × cos(-0.09992554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995011596115926 × 6371000     		du = 303.902153052264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09987784)-sin(-0.09992554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995016353503917-0.995011596115926)×R²
    abs(0.10037987-0.10033193)×4.75738799099457e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.75738799099457e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.75738799099457e-06×40589641000000     		ar = 92355.0822383136m²