Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67626 / 67621
↖ ↑ ↗
← S  5.717113°
E  5.740356°		 ← 303.91 m → S  5.717113°
E  5.743103°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S  5.719846°
E  5.740356°		 ← 303.91 m →
92 356 m²		 S  5.719846°
E  5.743103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515949249267578 y=0.515911102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515949249267578 × 217)
    floor (0.515949249267578 × 131072)
    floor (67626.5)     		tx = 67626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515911102294922 × 217)
    floor (0.515911102294922 × 131072)
    floor (67621.5)     		ty = 67621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67626 / 67621 ti = "17/67626/67621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67626/67621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67626 ÷ 217
    67626 ÷ 131072     		x = 0.515945434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67621 ÷ 217
    67621 ÷ 131072     		y = 0.515907287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515945434570312 × 2 - 1) × π
    0.031890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10018812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515907287597656 × 2 - 1) × π
    -0.0318145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0999484357078171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10018812} λ = 0.10018812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0999484357078171))-π/2
    2×atan(0.904884076539907)-π/2
    2×0.735506942836929-π/2
    1.47101388567386-1.57079632675     		φ = -0.09978244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10018812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.740356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09978244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.717113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67626 KachelY 67621 0.10018812 -0.09978244 5.740356 -5.717113
    Oben rechts KachelX + 1 67627 KachelY 67621 0.10023606 -0.09978244 5.743103 -5.717113
    Unten links KachelX 67626 KachelY + 1 67622 0.10018812 -0.09983014 5.740356 -5.719846
    Unten rechts KachelX + 1 67627 KachelY + 1 67622 0.10023606 -0.09983014 5.743103 -5.719846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09978244--0.09983014) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dl = 303.896699999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09978244--0.09983014) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dr = 303.896699999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.09978244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995025861488036 × 6371000     		do = 303.906510064097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.09983014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995021108627957 × 6371000     		du = 303.905058418291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09978244)-sin(-0.09983014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995025861488036-0.995021108627957)×R²
    abs(0.10023606-0.10018812)×4.75286007872722e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.75286007872722e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.75286007872722e-06×40589641000000     		ar = 92355.964959302m²