Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6754 / 7650
↖ ↑ ↗
← S 82.506295°
E116.806641°		 ← 637.28 m → S 82.506295°
E116.850586°		 →
↑
637.04 m
↓
↑
637.04 m
↓
S 82.512024°
E116.806641°		 ← 636.80 m →
405 818 m²		 S 82.512024°
E116.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82452392578125 y=0.93389892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82452392578125 × 213)
    floor (0.82452392578125 × 8192)
    floor (6754.5)     		tx = 6754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93389892578125 × 213)
    floor (0.93389892578125 × 8192)
    floor (7650.5)     		ty = 7650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6754 / 7650 ti = "13/6754/7650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6754/7650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6754 ÷ 213
    6754 ÷ 8192     		x = 0.824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7650 ÷ 213
    7650 ÷ 8192     		y = 0.933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824462890625 × 2 - 1) × π
    0.64892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03866047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.86767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.72588385999487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03866047} λ = 2.03866047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72588385999487))-π/2
    2×atan(0.0654882946467097)-π/2
    2×0.0653949145691978-π/2
    0.130789829138396-1.57079632675     		φ = -1.44000650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03866047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44000650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.506295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6754 KachelY 7650 2.03866047 -1.44000650 116.806641 -82.506295
    Oben rechts KachelX + 1 6755 KachelY 7650 2.03942746 -1.44000650 116.850586 -82.506295
    Unten links KachelX 6754 KachelY + 1 7651 2.03866047 -1.44010649 116.806641 -82.512024
    Unten rechts KachelX + 1 6755 KachelY + 1 7651 2.03942746 -1.44010649 116.850586 -82.512024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44000650--1.44010649) × R
    9.99900000000498e-05 × 6371000     		dl = 637.036290000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44000650--1.44010649) × R
    9.99900000000498e-05 × 6371000     		dr = 637.036290000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03866047-2.03942746) × cos(-1.44000650) × R
    0.000766990000000245 × 0.130417264256127 × 6371000     		do = 637.283086687926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03866047-2.03942746) × cos(-1.44010649) × R
    0.000766990000000245 × 0.130318127599336 × 6371000     		du = 636.798656079722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44000650)-sin(-1.44010649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130417264256127-0.130318127599336)×R²
    abs(2.03942746-2.03866047)×9.91366567912877e-05×R²
    0.000766990000000245×9.91366567912877e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.91366567912877e-05×40589641000000     		ar = 405818.153623023m²