Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67520 / 66112
↖ ↑ ↗
← S  1.581830°
E  5.449219°		 ← 305.31 m → S  1.581830°
E  5.451966°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.584576°
E  5.449219°		 ← 305.31 m →
93 191 m²		 S  1.584576°
E  5.451966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515140533447266 y=0.504398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515140533447266 × 217)
    floor (0.515140533447266 × 131072)
    floor (67520.5)     		tx = 67520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504398345947266 × 217)
    floor (0.504398345947266 × 131072)
    floor (66112.5)     		ty = 66112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67520 / 66112 ti = "17/67520/66112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67520/66112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67520 ÷ 217
    67520 ÷ 131072     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66112 ÷ 217
    66112 ÷ 131072     		y = 0.50439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(0.972766063091431)-π/2
    2×0.771594090240941-π/2
    1.54318818048188-1.57079632675     		φ = -0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67520 KachelY 66112 0.09510681 -0.02760815 5.449219 -1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 67521 KachelY 66112 0.09515475 -0.02760815 5.451966 -1.581830
    Unten links KachelX 67520 KachelY + 1 66113 0.09510681 -0.02765606 5.449219 -1.584576
    Unten rechts KachelX + 1 67521 KachelY + 1 66113 0.09515475 -0.02765606 5.451966 -1.584576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02760815--0.02765606) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02760815--0.02765606) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(-0.02760815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 305.309348124718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(-0.02765606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999617595547318 × 6371000     		du = 305.308943837037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02760815)-sin(-0.02765606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.999617595547318)×R²
    abs(0.09515475-0.09510681)×1.32368568905861e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.32368568905861e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32368568905861e-06×40589641000000     		ar = 93190.9181207245m²