Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6751 / 7583
↖ ↑ ↗
← S 82.112355°
E116.674805°		 ← 670.58 m → S 82.112355°
E116.718750°		 →
↑
670.29 m
↓
↑
670.29 m
↓
S 82.118384°
E116.674805°		 ← 670.07 m →
449 313 m²		 S 82.118384°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82415771484375 y=0.92572021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82415771484375 × 213)
    floor (0.82415771484375 × 8192)
    floor (6751.5)     		tx = 6751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92572021484375 × 213)
    floor (0.92572021484375 × 8192)
    floor (7583.5)     		ty = 7583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6751 / 7583 ti = "13/6751/7583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6751/7583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6751 ÷ 213
    6751 ÷ 8192     		x = 0.8240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7583 ÷ 213
    7583 ÷ 8192     		y = 0.9256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8240966796875 × 2 - 1) × π
    0.648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03635950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.67449550360217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03635950} λ = 2.03635950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67449550360217))-π/2
    2×atan(0.0689416004118146)-π/2
    2×0.0688326856481689-π/2
    0.137665371296338-1.57079632675     		φ = -1.43313096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03635950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43313096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.112355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6751 KachelY 7583 2.03635950 -1.43313096 116.674805 -82.112355
    Oben rechts KachelX + 1 6752 KachelY 7583 2.03712649 -1.43313096 116.718750 -82.112355
    Unten links KachelX 6751 KachelY + 1 7584 2.03635950 -1.43323617 116.674805 -82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 6752 KachelY + 1 7584 2.03712649 -1.43323617 116.718750 -82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43313096--1.43323617) × R
    0.000105210000000078 × 6371000     		dl = 670.292910000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43313096--1.43323617) × R
    0.000105210000000078 × 6371000     		dr = 670.292910000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03635950-2.03712649) × cos(-1.43313096) × R
    0.000766989999999801 × 0.137230945308776 × 6371000     		do = 670.578093431516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03635950-2.03712649) × cos(-1.43323617) × R
    0.000766989999999801 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 670.068845696676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43313096)-sin(-1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137230945308776-0.137126729932919)×R²
    abs(2.03712649-2.03635950)×0.000104215375857086×R²
    0.000766989999999801×0.000104215375857086×6371000²
    0.000766989999999801×0.000104215375857086×40589641000000     		ar = 449313.069472131m²