Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6744 / 7641
↖ ↑ ↗
← S 82.454537°
E116.367187°		 ← 641.66 m → S 82.454537°
E116.411133°		 →
↑
641.43 m
↓
↑
641.43 m
↓
S 82.460305°
E116.367187°		 ← 641.17 m →
411 425 m²		 S 82.460305°
E116.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82330322265625 y=0.93280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82330322265625 × 213)
    floor (0.82330322265625 × 8192)
    floor (6744.5)     		tx = 6744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93280029296875 × 213)
    floor (0.93280029296875 × 8192)
    floor (7641.5)     		ty = 7641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6744 / 7641 ti = "13/6744/7641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6744/7641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6744 ÷ 213
    6744 ÷ 8192     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7641 ÷ 213
    7641 ÷ 8192     		y = 0.9327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.71898094644959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71898094644959))-π/2
    2×atan(0.0659419185448883)-π/2
    2×0.0658465879195864-π/2
    0.131693175839173-1.57079632675     		φ = -1.43910315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43910315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.454537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6744 KachelY 7641 2.03099056 -1.43910315 116.367187 -82.454537
    Oben rechts KachelX + 1 6745 KachelY 7641 2.03175755 -1.43910315 116.411133 -82.454537
    Unten links KachelX 6744 KachelY + 1 7642 2.03099056 -1.43920383 116.367187 -82.460305
    Unten rechts KachelX + 1 6745 KachelY + 1 7642 2.03175755 -1.43920383 116.411133 -82.460305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43910315--1.43920383) × R
    0.000100680000000075 × 6371000     		dl = 641.432280000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43910315--1.43920383) × R
    0.000100680000000075 × 6371000     		dr = 641.432280000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(-1.43910315) × R
    0.000766990000000245 × 0.131312845586025 × 6371000     		do = 641.659338847123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(-1.43920383) × R
    0.000766990000000245 × 0.131213036710907 × 6371000     		du = 641.171623448576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43910315)-sin(-1.43920383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131312845586025-0.131213036710907)×R²
    abs(2.03175755-2.03099056)×9.98088751179571e-05×R²
    0.000766990000000245×9.98088751179571e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.98088751179571e-05×40589641000000     		ar = 411424.594847582m²