Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67392 / 67906
↖ ↑ ↗
← S  6.495441°
E  5.097656°		 ← 303.40 m → S  6.495441°
E  5.100403°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.498170°
E  5.097656°		 ← 303.40 m →
92 067 m²		 S  6.498170°
E  5.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514163970947266 y=0.518085479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514163970947266 × 217)
    floor (0.514163970947266 × 131072)
    floor (67392.5)     		tx = 67392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518085479736328 × 217)
    floor (0.518085479736328 × 131072)
    floor (67906.5)     		ty = 67906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67392 / 67906 ti = "17/67392/67906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67392/67906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67392 ÷ 217
    67392 ÷ 131072     		x = 0.51416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67906 ÷ 217
    67906 ÷ 131072     		y = 0.518081665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51416015625 × 2 - 1) × π
    0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.036163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113610452099533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08897089} λ = 0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113610452099533))-π/2
    2×atan(0.892605600803576)-π/2
    2×0.72871474517759-π/2
    1.45742949035518-1.57079632675     		φ = -0.11336684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11336684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.495441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67392 KachelY 67906 0.08897089 -0.11336684 5.097656 -6.495441
    Oben rechts KachelX + 1 67393 KachelY 67906 0.08901882 -0.11336684 5.100403 -6.495441
    Unten links KachelX 67392 KachelY + 1 67907 0.08897089 -0.11341447 5.097656 -6.498170
    Unten rechts KachelX + 1 67393 KachelY + 1 67907 0.08901882 -0.11341447 5.100403 -6.498170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11336684--0.11341447) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dl = 303.450730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11336684--0.11341447) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dr = 303.450730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08897089-0.08901882) × cos(-0.11336684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993580859135783 × 6371000     		do = 303.401868114857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08897089-0.08901882) × cos(-0.11341447) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993575469904852 × 6371000     		du = 303.40022244836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11336684)-sin(-0.11341447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993580859135783-0.993575469904852)×R²
    abs(0.08901882-0.08897089)×5.38923093085231e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.38923093085231e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.38923093085231e-06×40589641000000     		ar = 92067.2686908823m²