Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67391 / 67909
↖ ↑ ↗
← S  6.503628°
E  5.094910°		 ← 303.46 m → S  6.503628°
E  5.097656°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.506357°
E  5.094910°		 ← 303.46 m →
92 085 m²		 S  6.506357°
E  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514156341552734 y=0.518108367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514156341552734 × 217)
    floor (0.514156341552734 × 131072)
    floor (67391.5)     		tx = 67391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518108367919922 × 217)
    floor (0.518108367919922 × 131072)
    floor (67909.5)     		ty = 67909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67391 / 67909 ti = "17/67391/67909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67391/67909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67391 ÷ 217
    67391 ÷ 131072     		x = 0.514152526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67909 ÷ 217
    67909 ÷ 131072     		y = 0.518104553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514152526855469 × 2 - 1) × π
    0.0283050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08892295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518104553222656 × 2 - 1) × π
    -0.0362091064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113754262798393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08892295} λ = 0.08892295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113754262798393))-π/2
    2×atan(0.892477243798094)-π/2
    2×0.728643301980078-π/2
    1.45728660396016-1.57079632675     		φ = -0.11350972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08892295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.094910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11350972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.503628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67391 KachelY 67909 0.08892295 -0.11350972 5.094910 -6.503628
    Oben rechts KachelX + 1 67392 KachelY 67909 0.08897089 -0.11350972 5.097656 -6.503628
    Unten links KachelX 67391 KachelY + 1 67910 0.08892295 -0.11355735 5.094910 -6.506357
    Unten rechts KachelX + 1 67392 KachelY + 1 67910 0.08897089 -0.11355735 5.097656 -6.506357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11350972--0.11355735) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dl = 303.450730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11350972--0.11355735) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dr = 303.450730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08892295-0.08897089) × cos(-0.11350972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993564685813537 × 6371000     		do = 303.460229402444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08892295-0.08897089) × cos(-0.11355735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99355928982099 × 6371000     		du = 303.458581327427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11350972)-sin(-0.11355735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993564685813537-0.99355928982099)×R²
    abs(0.08897089-0.08892295)×5.39599254723022e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.39599254723022e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.39599254723022e-06×40589641000000     		ar = 92084.9781007578m²