Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67389 / 67910
↖ ↑ ↗
← S  6.506357°
E  5.089416°		 ← 303.46 m → S  6.506357°
E  5.092163°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.509086°
E  5.089416°		 ← 303.46 m →
92 084 m²		 S  6.509086°
E  5.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514141082763672 y=0.518115997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514141082763672 × 217)
    floor (0.514141082763672 × 131072)
    floor (67389.5)     		tx = 67389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518115997314453 × 217)
    floor (0.518115997314453 × 131072)
    floor (67910.5)     		ty = 67910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67389 / 67910 ti = "17/67389/67910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67389/67910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67389 ÷ 217
    67389 ÷ 131072     		x = 0.514137268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67910 ÷ 217
    67910 ÷ 131072     		y = 0.518112182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514137268066406 × 2 - 1) × π
    0.0282745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08882707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518112182617188 × 2 - 1) × π
    -0.036224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.113802199698013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08882707} λ = 0.08882707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113802199698013))-π/2
    2×atan(0.892434462231461)-π/2
    2×0.728619487839441-π/2
    1.45723897567888-1.57079632675     		φ = -0.11355735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08882707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.089416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11355735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.506357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67389 KachelY 67910 0.08882707 -0.11355735 5.089416 -6.506357
    Oben rechts KachelX + 1 67390 KachelY 67910 0.08887501 -0.11355735 5.092163 -6.506357
    Unten links KachelX 67389 KachelY + 1 67911 0.08882707 -0.11360498 5.089416 -6.509086
    Unten rechts KachelX + 1 67390 KachelY + 1 67911 0.08887501 -0.11360498 5.092163 -6.509086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11355735--0.11360498) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dl = 303.450729999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11355735--0.11360498) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dr = 303.450729999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11355735) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99355928982099 × 6371000     		do = 303.458581327515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11360498) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993553891574438 × 6371000     		du = 303.456932564067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11355735)-sin(-0.11360498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99355928982099-0.993553891574438)×R²
    abs(0.08887501-0.08882707)×5.39824655254595e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.39824655254595e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.39824655254595e-06×40589641000000     		ar = 92084.4778867731m²