Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67389 / 67907
↖ ↑ ↗
← S  6.498170°
E  5.089416°		 ← 303.46 m → S  6.498170°
E  5.092163°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.500899°
E  5.089416°		 ← 303.46 m →
92 067 m²		 S  6.500899°
E  5.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514141082763672 y=0.518093109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514141082763672 × 217)
    floor (0.514141082763672 × 131072)
    floor (67389.5)     		tx = 67389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518093109130859 × 217)
    floor (0.518093109130859 × 131072)
    floor (67907.5)     		ty = 67907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67389 / 67907 ti = "17/67389/67907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67389/67907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67389 ÷ 217
    67389 ÷ 131072     		x = 0.514137268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67907 ÷ 217
    67907 ÷ 131072     		y = 0.518089294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514137268066406 × 2 - 1) × π
    0.0282745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08882707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518089294433594 × 2 - 1) × π
    -0.0361785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.113658388999153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08882707} λ = 0.08882707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113658388999153))-π/2
    2×atan(0.892562813084053)-π/2
    2×0.728690930649206-π/2
    1.45738186129841-1.57079632675     		φ = -0.11341447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08882707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.089416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11341447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.498170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67389 KachelY 67907 0.08882707 -0.11341447 5.089416 -6.498170
    Oben rechts KachelX + 1 67390 KachelY 67907 0.08887501 -0.11341447 5.092163 -6.498170
    Unten links KachelX 67389 KachelY + 1 67908 0.08882707 -0.11346209 5.089416 -6.500899
    Unten rechts KachelX + 1 67390 KachelY + 1 67908 0.08887501 -0.11346209 5.092163 -6.500899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11341447--0.11346209) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11341447--0.11346209) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11341447) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993575469904852 × 6371000     		do = 303.463523141602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11346209) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993570079552067 × 6371000     		du = 303.461876789113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11341447)-sin(-0.11346209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993575469904852-0.993570079552067)×R²
    abs(0.08887501-0.08882707)×5.39035278479538e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.39035278479538e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.39035278479538e-06×40589641000000     		ar = 92066.6442410464m²