Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67389 / 67904
↖ ↑ ↗
← S  6.489983°
E  5.089416°		 ← 303.47 m → S  6.489983°
E  5.092163°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.492712°
E  5.089416°		 ← 303.47 m →
92 087 m²		 S  6.492712°
E  5.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514141082763672 y=0.518070220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514141082763672 × 217)
    floor (0.514141082763672 × 131072)
    floor (67389.5)     		tx = 67389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518070220947266 × 217)
    floor (0.518070220947266 × 131072)
    floor (67904.5)     		ty = 67904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67389 / 67904 ti = "17/67389/67904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67389/67904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67389 ÷ 217
    67389 ÷ 131072     		x = 0.514137268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67904 ÷ 217
    67904 ÷ 131072     		y = 0.51806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514137268066406 × 2 - 1) × π
    0.0282745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08882707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08882707} λ = 0.08882707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113514578300293))-π/2
    2×atan(0.892691182396198)-π/2
    2×0.728762374621731-π/2
    1.45752474924346-1.57079632675     		φ = -0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08882707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.089416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67389 KachelY 67904 0.08882707 -0.11327158 5.089416 -6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 67390 KachelY 67904 0.08887501 -0.11327158 5.092163 -6.489983
    Unten links KachelX 67389 KachelY + 1 67905 0.08882707 -0.11331921 5.089416 -6.492712
    Unten rechts KachelX + 1 67390 KachelY + 1 67905 0.08887501 -0.11331921 5.092163 -6.492712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11327158--0.11331921) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dl = 303.450730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11327158--0.11331921) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dr = 303.450730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11327158) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993591630835469 × 6371000     		do = 303.468459105795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08882707-0.08887501) × cos(-0.11331921) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993586246112659 × 6371000     		du = 303.466814472846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11327158)-sin(-0.11331921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993591630835469-0.993586246112659)×R²
    abs(0.08887501-0.08882707)×5.38472280997571e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.38472280997571e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.38472280997571e-06×40589641000000     		ar = 92087.4759325083m²