Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67388 / 67901
↖ ↑ ↗
← S  6.481796°
E  5.086670°		 ← 303.41 m → S  6.481796°
E  5.089416°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.484525°
E  5.086670°		 ← 303.41 m →
92 070 m²		 S  6.484525°
E  5.089416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514133453369141 y=0.518047332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514133453369141 × 217)
    floor (0.514133453369141 × 131072)
    floor (67388.5)     		tx = 67388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518047332763672 × 217)
    floor (0.518047332763672 × 131072)
    floor (67901.5)     		ty = 67901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67388 / 67901 ti = "17/67388/67901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67388/67901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67388 ÷ 217
    67388 ÷ 131072     		x = 0.514129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67901 ÷ 217
    67901 ÷ 131072     		y = 0.518043518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514129638671875 × 2 - 1) × π
    0.02825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08877914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518043518066406 × 2 - 1) × π
    -0.0360870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113370767601433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08877914} λ = 0.08877914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113370767601433))-π/2
    2×atan(0.892819570170551)-π/2
    2×0.728833819755578-π/2
    1.45766763951116-1.57079632675     		φ = -0.11312869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08877914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.086670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11312869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.481796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67388 KachelY 67901 0.08877914 -0.11312869 5.086670 -6.481796
    Oben rechts KachelX + 1 67389 KachelY 67901 0.08882707 -0.11312869 5.089416 -6.481796
    Unten links KachelX 67388 KachelY + 1 67902 0.08877914 -0.11317632 5.086670 -6.484525
    Unten rechts KachelX + 1 67389 KachelY + 1 67902 0.08882707 -0.11317632 5.089416 -6.484525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11312869--0.11317632) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dl = 303.450729999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11312869--0.11317632) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dr = 303.450729999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08877914-0.08882707) × cos(-0.11312869) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.993607771479378 × 6371000     		do = 303.410086122641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08877914-0.08882707) × cos(-0.11317632) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.99360239351884 × 6371000     		du = 303.408443897694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11312869)-sin(-0.11317632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993607771479378-0.99360239351884)×R²
    abs(0.08882707-0.08877914)×5.37796053701189e-06×R²
    4.79299999999877e-05×5.37796053701189e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×5.37796053701189e-06×40589641000000     		ar = 92069.7629734802m²