Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67387 / 67917
↖ ↑ ↗
← S  6.525459°
E  5.083923°		 ← 303.45 m → S  6.525459°
E  5.086670°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.528188°
E  5.083923°		 ← 303.45 m →
92 081 m²		 S  6.528188°
E  5.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514125823974609 y=0.518169403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514125823974609 × 217)
    floor (0.514125823974609 × 131072)
    floor (67387.5)     		tx = 67387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518169403076172 × 217)
    floor (0.518169403076172 × 131072)
    floor (67917.5)     		ty = 67917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67387 / 67917 ti = "17/67387/67917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67387/67917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67387 ÷ 217
    67387 ÷ 131072     		x = 0.514122009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67917 ÷ 217
    67917 ÷ 131072     		y = 0.518165588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514122009277344 × 2 - 1) × π
    0.0282440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08873120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518165588378906 × 2 - 1) × π
    -0.0363311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.114137757995354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08873120} λ = 0.08873120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.114137757995354))-π/2
    2×atan(0.892135048680987)-π/2
    2×0.728452792479922-π/2
    1.45690558495984-1.57079632675     		φ = -0.11389074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08873120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.083923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11389074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.525459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67387 KachelY 67917 0.08873120 -0.11389074 5.083923 -6.525459
    Oben rechts KachelX + 1 67388 KachelY 67917 0.08877914 -0.11389074 5.086670 -6.525459
    Unten links KachelX 67387 KachelY + 1 67918 0.08873120 -0.11393837 5.083923 -6.528188
    Unten rechts KachelX + 1 67388 KachelY + 1 67918 0.08877914 -0.11393837 5.086670 -6.528188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11389074--0.11393837) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dl = 303.450729999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11389074--0.11393837) × R
    4.7629999999993e-05 × 6371000     		dr = 303.450729999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08873120-0.08877914) × cos(-0.11389074) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993521457034589 × 6371000     		do = 303.447026220732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08873120-0.08877914) × cos(-0.11393837) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993516043011288 × 6371000     		du = 303.445372638659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11389074)-sin(-0.11393837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993521457034589-0.993516043011288)×R²
    abs(0.08877914-0.08873120)×5.41402330067609e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.41402330067609e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.41402330067609e-06×40589641000000     		ar = 92080.9707500808m²