Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67382 / 67902
↖ ↑ ↗
← S  6.484525°
E  5.070191°		 ← 303.41 m → S  6.484525°
E  5.072937°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
S  6.487254°
E  5.070191°		 ← 303.41 m →
92 069 m²		 S  6.487254°
E  5.072937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514087677001953 y=0.518054962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514087677001953 × 217)
    floor (0.514087677001953 × 131072)
    floor (67382.5)     		tx = 67382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518054962158203 × 217)
    floor (0.518054962158203 × 131072)
    floor (67902.5)     		ty = 67902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67382 / 67902 ti = "17/67382/67902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67382/67902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67382 ÷ 217
    67382 ÷ 131072     		x = 0.514083862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67902 ÷ 217
    67902 ÷ 131072     		y = 0.518051147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514083862304688 × 2 - 1) × π
    0.028167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08849152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.036102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.113418704501053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08849152} λ = 0.08849152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113418704501053))-π/2
    2×atan(0.892776772194247)-π/2
    2×0.728810004582016-π/2
    1.45762000916403-1.57079632675     		φ = -0.11317632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08849152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.070191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11317632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.484525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67382 KachelY 67902 0.08849152 -0.11317632 5.070191 -6.484525
    Oben rechts KachelX + 1 67383 KachelY 67902 0.08853945 -0.11317632 5.072937 -6.484525
    Unten links KachelX 67382 KachelY + 1 67903 0.08849152 -0.11322395 5.070191 -6.487254
    Unten rechts KachelX + 1 67383 KachelY + 1 67903 0.08853945 -0.11322395 5.072937 -6.487254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11317632--0.11322395) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dl = 303.450730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11317632--0.11322395) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dr = 303.450730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08849152-0.08853945) × cos(-0.11317632) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99360239351884 × 6371000     		do = 303.408443897782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08849152-0.08853945) × cos(-0.11322395) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9935970133042 × 6371000     		du = 303.406800984518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11317632)-sin(-0.11322395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99360239351884-0.9935970133042)×R²
    abs(0.08853945-0.08849152)×5.38021464024929e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.38021464024929e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.38021464024929e-06×40589641000000     		ar = 92069.2645347598m²