Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67331 / 67848
↖ ↑ ↗
← S  6.337137°
E  4.930114°		 ← 303.56 m → S  6.337137°
E  4.932861°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.339867°
E  4.930114°		 ← 303.56 m →
92 154 m²		 S  6.339867°
E  4.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513698577880859 y=0.517642974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513698577880859 × 217)
    floor (0.513698577880859 × 131072)
    floor (67331.5)     		tx = 67331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517642974853516 × 217)
    floor (0.517642974853516 × 131072)
    floor (67848.5)     		ty = 67848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67331 / 67848 ti = "17/67331/67848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67331/67848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67331 ÷ 217
    67331 ÷ 131072     		x = 0.513694763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67848 ÷ 217
    67848 ÷ 131072     		y = 0.51763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513694763183594 × 2 - 1) × π
    0.0273895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08604673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.11083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08604673} λ = 0.08604673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11083011192157))-π/2
    2×atan(0.895090801268973)-π/2
    2×0.730096207052119-π/2
    1.46019241410424-1.57079632675     		φ = -0.11060391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08604673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.930114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11060391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.337137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67331 KachelY 67848 0.08604673 -0.11060391 4.930114 -6.337137
    Oben rechts KachelX + 1 67332 KachelY 67848 0.08609467 -0.11060391 4.932861 -6.337137
    Unten links KachelX 67331 KachelY + 1 67849 0.08604673 -0.11065156 4.930114 -6.339867
    Unten rechts KachelX + 1 67332 KachelY + 1 67849 0.08609467 -0.11065156 4.932861 -6.339867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11060391--0.11065156) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11060391--0.11065156) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08604673-0.08609467) × cos(-0.11060391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993889620495557 × 6371000     		do = 303.559472818151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08604673-0.08609467) × cos(-0.11065156) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993884359829765 × 6371000     		du = 303.557866075409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11060391)-sin(-0.11065156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993889620495557-0.993884359829765)×R²
    abs(0.08609467-0.08604673)×5.26066579198403e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.26066579198403e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.26066579198403e-06×40589641000000     		ar = 92153.7793045419m²