Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67328 / 67839
↖ ↑ ↗
← S  6.312569°
E  4.921875°		 ← 303.57 m → S  6.312569°
E  4.924622°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
S  6.315298°
E  4.921875°		 ← 303.57 m →
92 139 m²		 S  6.315298°
E  4.924622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513675689697266 y=0.517574310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513675689697266 × 217)
    floor (0.513675689697266 × 131072)
    floor (67328.5)     		tx = 67328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517574310302734 × 217)
    floor (0.517574310302734 × 131072)
    floor (67839.5)     		ty = 67839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67328 / 67839 ti = "17/67328/67839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67328/67839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67328 ÷ 217
    67328 ÷ 131072     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67839 ÷ 217
    67839 ÷ 131072     		y = 0.517570495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517570495605469 × 2 - 1) × π
    -0.0351409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.110398679824989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110398679824989))-π/2
    2×atan(0.895477055485237)-π/2
    2×0.730310610091842-π/2
    1.46062122018368-1.57079632675     		φ = -0.11017511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11017511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.312569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67328 KachelY 67839 0.08590292 -0.11017511 4.921875 -6.312569
    Oben rechts KachelX + 1 67329 KachelY 67839 0.08595086 -0.11017511 4.924622 -6.312569
    Unten links KachelX 67328 KachelY + 1 67840 0.08590292 -0.11022275 4.921875 -6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 67329 KachelY + 1 67840 0.08595086 -0.11022275 4.924622 -6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11017511--0.11022275) × R
    4.76399999999877e-05 × 6371000     		dl = 303.514439999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11017511--0.11022275) × R
    4.76399999999877e-05 × 6371000     		dr = 303.514439999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08595086) × cos(-0.11017511) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993936859439443 × 6371000     		do = 303.573900807632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08595086) × cos(-0.11022275) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 303.572300603413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11017511)-sin(-0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993936859439443-0.993931620181548)×R²
    abs(0.08595086-0.08590292)×5.23925789486235e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.23925789486235e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.23925789486235e-06×40589641000000     		ar = 92138.8196770971m²