Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67325 / 67843
↖ ↑ ↗
← S  6.323488°
E  4.913635°		 ← 303.57 m → S  6.323488°
E  4.916382°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
S  6.326218°
E  4.913635°		 ← 303.57 m →
92 137 m²		 S  6.326218°
E  4.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513652801513672 y=0.517604827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513652801513672 × 217)
    floor (0.513652801513672 × 131072)
    floor (67325.5)     		tx = 67325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517604827880859 × 217)
    floor (0.517604827880859 × 131072)
    floor (67843.5)     		ty = 67843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67325 / 67843 ti = "17/67325/67843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67325/67843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67325 ÷ 217
    67325 ÷ 131072     		x = 0.513648986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67843 ÷ 217
    67843 ÷ 131072     		y = 0.517601013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513648986816406 × 2 - 1) × π
    0.0272979736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08575911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517601013183594 × 2 - 1) × π
    -0.0352020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.11059042742347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08575911} λ = 0.08575911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11059042742347))-π/2
    2×atan(0.895305366371367)-π/2
    2×0.730215318593987-π/2
    1.46043063718797-1.57079632675     		φ = -0.11036569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08575911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.913635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11036569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.323488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67325 KachelY 67843 0.08575911 -0.11036569 4.913635 -6.323488
    Oben rechts KachelX + 1 67326 KachelY 67843 0.08580705 -0.11036569 4.916382 -6.323488
    Unten links KachelX 67325 KachelY + 1 67844 0.08575911 -0.11041333 4.913635 -6.326218
    Unten rechts KachelX + 1 67326 KachelY + 1 67844 0.08580705 -0.11041333 4.916382 -6.326218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11036569--0.11041333) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11036569--0.11041333) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08575911-0.08580705) × cos(-0.11036569) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993915886670294 × 6371000     		do = 303.567495184007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08575911-0.08580705) × cos(-0.11041333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993910638388336 × 6371000     		du = 303.565892223607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11036569)-sin(-0.11041333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993915886670294-0.993910638388336)×R²
    abs(0.08580705-0.08575911)×5.2482819583588e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.2482819583588e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.2482819583588e-06×40589641000000     		ar = 92136.8750595775m²