Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67321 / 67846
↖ ↑ ↗
← S  6.331678°
E  4.902649°		 ← 303.50 m → S  6.331678°
E  4.905395°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.334408°
E  4.902649°		 ← 303.50 m →
92 136 m²		 S  6.334408°
E  4.905395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513622283935547 y=0.517627716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513622283935547 × 217)
    floor (0.513622283935547 × 131072)
    floor (67321.5)     		tx = 67321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517627716064453 × 217)
    floor (0.517627716064453 × 131072)
    floor (67846.5)     		ty = 67846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67321 / 67846 ti = "17/67321/67846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67321/67846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67321 ÷ 217
    67321 ÷ 131072     		x = 0.513618469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67846 ÷ 217
    67846 ÷ 131072     		y = 0.517623901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513618469238281 × 2 - 1) × π
    0.0272369384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08556737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.035247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.11073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08556737} λ = 0.08556737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11073423812233))-π/2
    2×atan(0.895176621138629)-π/2
    2×0.730143851291099-π/2
    1.4602877025822-1.57079632675     		φ = -0.11050862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08556737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.902649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11050862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.331678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67321 KachelY 67846 0.08556737 -0.11050862 4.902649 -6.331678
    Oben rechts KachelX + 1 67322 KachelY 67846 0.08561530 -0.11050862 4.905395 -6.331678
    Unten links KachelX 67321 KachelY + 1 67847 0.08556737 -0.11055627 4.902649 -6.334408
    Unten rechts KachelX + 1 67322 KachelY + 1 67847 0.08561530 -0.11055627 4.905395 -6.334408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11050862--0.11055627) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11050862--0.11055627) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08556737-0.08561530) × cos(-0.11050862) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993900133954345 × 6371000     		do = 303.499362521581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08556737-0.08561530) × cos(-0.11055627) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993894877801388 × 6371000     		du = 303.497757492044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11050862)-sin(-0.11055627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993900133954345-0.993894877801388)×R²
    abs(0.08561530-0.08556737)×5.25615295610127e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.25615295610127e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.25615295610127e-06×40589641000000     		ar = 92135.5313919393m²