Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67315 / 67827
↖ ↑ ↗
← S  6.279808°
E  4.886169°		 ← 303.59 m → S  6.279808°
E  4.888916°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.282538°
E  4.886169°		 ← 303.59 m →
92 164 m²		 S  6.282538°
E  4.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513576507568359 y=0.517482757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513576507568359 × 217)
    floor (0.513576507568359 × 131072)
    floor (67315.5)     		tx = 67315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517482757568359 × 217)
    floor (0.517482757568359 × 131072)
    floor (67827.5)     		ty = 67827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67315 / 67827 ti = "17/67315/67827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67315/67827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67315 ÷ 217
    67315 ÷ 131072     		x = 0.513572692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67827 ÷ 217
    67827 ÷ 131072     		y = 0.517478942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513572692871094 × 2 - 1) × π
    0.0271453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08527974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517478942871094 × 2 - 1) × π
    -0.0349578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.109823437029549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08527974} λ = 0.08527974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109823437029549))-π/2
    2×atan(0.895992320396893)-π/2
    2×0.730596496626096-π/2
    1.46119299325219-1.57079632675     		φ = -0.10960333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08527974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.886169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10960333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.279808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67315 KachelY 67827 0.08527974 -0.10960333 4.886169 -6.279808
    Oben rechts KachelX + 1 67316 KachelY 67827 0.08532768 -0.10960333 4.888916 -6.279808
    Unten links KachelX 67315 KachelY + 1 67828 0.08527974 -0.10965098 4.886169 -6.282538
    Unten rechts KachelX + 1 67316 KachelY + 1 67828 0.08532768 -0.10965098 4.888916 -6.282538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10960333--0.10965098) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10960333--0.10965098) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08527974-0.08532768) × cos(-0.10960333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9939995655161 × 6371000     		do = 303.59305285741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08527974-0.08532768) × cos(-0.10965098) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993994352239116 × 6371000     		du = 303.591460588429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10960333)-sin(-0.10965098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9939995655161-0.993994352239116)×R²
    abs(0.08532768-0.08527974)×5.21327698332907e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.21327698332907e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.21327698332907e-06×40589641000000     		ar = 92163.9756677085m²