Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67314 / 67835
↖ ↑ ↗
← S  6.301649°
E  4.883423°		 ← 303.52 m → S  6.301649°
E  4.886169°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.304379°
E  4.883423°		 ← 303.52 m →
92 141 m²		 S  6.304379°
E  4.886169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513568878173828 y=0.517543792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513568878173828 × 217)
    floor (0.513568878173828 × 131072)
    floor (67314.5)     		tx = 67314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517543792724609 × 217)
    floor (0.517543792724609 × 131072)
    floor (67835.5)     		ty = 67835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67314 / 67835 ti = "17/67314/67835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67314/67835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67314 ÷ 217
    67314 ÷ 131072     		x = 0.513565063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67835 ÷ 217
    67835 ÷ 131072     		y = 0.517539978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513565063476562 × 2 - 1) × π
    0.027130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08523181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517539978027344 × 2 - 1) × π
    -0.0350799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.110206932226509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08523181} λ = 0.08523181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110206932226509))-π/2
    2×atan(0.895648777523238)-π/2
    2×0.730405903598757-π/2
    1.46081180719751-1.57079632675     		φ = -0.10998452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08523181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10998452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.301649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67314 KachelY 67835 0.08523181 -0.10998452 4.883423 -6.301649
    Oben rechts KachelX + 1 67315 KachelY 67835 0.08527974 -0.10998452 4.886169 -6.301649
    Unten links KachelX 67314 KachelY + 1 67836 0.08523181 -0.11003217 4.883423 -6.304379
    Unten rechts KachelX + 1 67315 KachelY + 1 67836 0.08527974 -0.11003217 4.886169 -6.304379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10998452--0.11003217) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10998452--0.11003217) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08523181-0.08527974) × cos(-0.10998452) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993957797205703 × 6371000     		do = 303.516970689072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08523181-0.08527974) × cos(-0.11003217) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993952565874432 × 6371000     		du = 303.515373239135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10998452)-sin(-0.11003217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993957797205703-0.993952565874432)×R²
    abs(0.08527974-0.08523181)×5.23133127017239e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.23133127017239e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.23133127017239e-06×40589641000000     		ar = 92140.8779973672m²