Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6731 / 7623
↖ ↑ ↗
← S 82.349953°
E115.795899°		 ← 650.50 m → S 82.349953°
E115.839844°		 →
↑
650.22 m
↓
↑
650.22 m
↓
S 82.355800°
E115.795899°		 ← 650.01 m →
422 811 m²		 S 82.355800°
E115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82171630859375 y=0.93060302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82171630859375 × 213)
    floor (0.82171630859375 × 8192)
    floor (6731.5)     		tx = 6731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93060302734375 × 213)
    floor (0.93060302734375 × 8192)
    floor (7623.5)     		ty = 7623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6731 / 7623 ti = "13/6731/7623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6731/7623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6731 ÷ 213
    6731 ÷ 8192     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7623 ÷ 213
    7623 ÷ 8192     		y = 0.9305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.861083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70517511935901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70517511935901))-π/2
    2×atan(0.0668586145836343)-π/2
    2×0.066759259928852-π/2
    0.133518519857704-1.57079632675     		φ = -1.43727781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43727781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.349953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6731 KachelY 7623 2.02101969 -1.43727781 115.795899 -82.349953
    Oben rechts KachelX + 1 6732 KachelY 7623 2.02178668 -1.43727781 115.839844 -82.349953
    Unten links KachelX 6731 KachelY + 1 7624 2.02101969 -1.43737987 115.795899 -82.355800
    Unten rechts KachelX + 1 6732 KachelY + 1 7624 2.02178668 -1.43737987 115.839844 -82.355800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43727781--1.43737987) × R
    0.000102059999999904 × 6371000     		dl = 650.224259999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43727781--1.43737987) × R
    0.000102059999999904 × 6371000     		dr = 650.224259999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02178668) × cos(-1.43727781) × R
    0.000766989999999801 × 0.133122160165373 × 6371000     		do = 650.500542398233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02178668) × cos(-1.43737987) × R
    0.000766989999999801 × 0.13302100784328 × 6371000     		du = 650.006262255055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43727781)-sin(-1.43737987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133122160165373-0.13302100784328)×R²
    abs(2.02178668-2.02101969)×0.000101152322093512×R²
    0.000766989999999801×0.000101152322093512×6371000²
    0.000766989999999801×0.000101152322093512×40589641000000     		ar = 422810.53770678m²