Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67300 / 67820
↖ ↑ ↗
← S  6.260697°
E  4.844971°		 ← 303.60 m → S  6.260697°
E  4.847717°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.263427°
E  4.844971°		 ← 303.60 m →
92 167 m²		 S  6.263427°
E  4.847717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513462066650391 y=0.517429351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513462066650391 × 217)
    floor (0.513462066650391 × 131072)
    floor (67300.5)     		tx = 67300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517429351806641 × 217)
    floor (0.517429351806641 × 131072)
    floor (67820.5)     		ty = 67820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67300 / 67820 ti = "17/67300/67820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67300/67820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67300 ÷ 217
    67300 ÷ 131072     		x = 0.513458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67820 ÷ 217
    67820 ÷ 131072     		y = 0.517425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513458251953125 × 2 - 1) × π
    0.02691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08456069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.03485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.109487878732208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08456069} λ = 0.08456069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109487878732208))-π/2
    2×atan(0.896293028504084)-π/2
    2×0.730763272084523-π/2
    1.46152654416905-1.57079632675     		φ = -0.10926978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08456069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10926978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.260697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67300 KachelY 67820 0.08456069 -0.10926978 4.844971 -6.260697
    Oben rechts KachelX + 1 67301 KachelY 67820 0.08460863 -0.10926978 4.847717 -6.260697
    Unten links KachelX 67300 KachelY + 1 67821 0.08456069 -0.10931743 4.844971 -6.263427
    Unten rechts KachelX + 1 67301 KachelY + 1 67821 0.08460863 -0.10931743 4.847717 -6.263427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10926978--0.10931743) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10926978--0.10931743) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08456069-0.08460863) × cos(-0.10926978) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.994035995261166 × 6371000     		do = 303.604179439343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08456069-0.08460863) × cos(-0.10931743) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99403079778272 × 6371000     		du = 303.602591995642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10926978)-sin(-0.10931743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994035995261166-0.99403079778272)×R²
    abs(0.08460863-0.08456069)×5.19747844629492e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.19747844629492e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.19747844629492e-06×40589641000000     		ar = 92167.3541872909m²