Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6728 / 7656
↖ ↑ ↗
← S 82.540604°
E115.664063°		 ← 634.38 m → S 82.540604°
E115.708008°		 →
↑
634.17 m
↓
↑
634.17 m
↓
S 82.546307°
E115.664063°		 ← 633.90 m →
402 153 m²		 S 82.546307°
E115.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82135009765625 y=0.93463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82135009765625 × 213)
    floor (0.82135009765625 × 8192)
    floor (6728.5)     		tx = 6728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93463134765625 × 213)
    floor (0.93463134765625 × 8192)
    floor (7656.5)     		ty = 7656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6728 / 7656 ti = "13/6728/7656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6728/7656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6728 ÷ 213
    6728 ÷ 8192     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7656 ÷ 213
    7656 ÷ 8192     		y = 0.9345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9345703125 × 2 - 1) × π
    -0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7304858023584))-π/2
    2×atan(0.065187613678152)-π/2
    2×0.0650955117678637-π/2
    0.130191023535727-1.57079632675     		φ = -1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6728 KachelY 7656 2.01871872 -1.44060530 115.664063 -82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 6729 KachelY 7656 2.01948571 -1.44060530 115.708008 -82.540604
    Unten links KachelX 6728 KachelY + 1 7657 2.01871872 -1.44070484 115.664063 -82.546307
    Unten rechts KachelX + 1 6729 KachelY + 1 7657 2.01948571 -1.44070484 115.708008 -82.546307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44060530--1.44070484) × R
    9.9539999999898e-05 × 6371000     		dl = 634.16933999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44060530--1.44070484) × R
    9.9539999999898e-05 × 6371000     		dr = 634.16933999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01948571) × cos(-1.44060530) × R
    0.000766990000000245 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 634.381931094256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01948571) × cos(-1.44070484) × R
    0.000766990000000245 × 0.129724856896658 × 6371000     		du = 633.899642771931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44060530)-sin(-1.44070484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.129724856896658)×R²
    abs(2.01948571-2.01871872)×9.86982471278541e-05×R²
    0.000766990000000245×9.86982471278541e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.86982471278541e-05×40589641000000     		ar = 402152.644650358m²