Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6728 / 7624
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E115.664063°		 ← 650.01 m → S 82.355800°
E115.708008°		 →
↑
649.78 m
↓
↑
649.78 m
↓
S 82.361644°
E115.664063°		 ← 649.51 m →
422 199 m²		 S 82.361644°
E115.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82135009765625 y=0.93072509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82135009765625 × 213)
    floor (0.82135009765625 × 8192)
    floor (6728.5)     		tx = 6728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93072509765625 × 213)
    floor (0.93072509765625 × 8192)
    floor (7624.5)     		ty = 7624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6728 / 7624 ti = "13/6728/7624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6728/7624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6728 ÷ 213
    6728 ÷ 8192     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7624 ÷ 213
    7624 ÷ 8192     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6728 KachelY 7624 2.01871872 -1.43737987 115.664063 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 6729 KachelY 7624 2.01948571 -1.43737987 115.708008 -82.355800
    Unten links KachelX 6728 KachelY + 1 7625 2.01871872 -1.43748186 115.664063 -82.361644
    Unten rechts KachelX + 1 6729 KachelY + 1 7625 2.01948571 -1.43748186 115.708008 -82.361644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43748186) × R
    0.000101989999999885 × 6371000     		dl = 649.778289999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43748186) × R
    0.000101989999999885 × 6371000     		dr = 649.778289999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01948571) × cos(-1.43737987) × R
    0.000766990000000245 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 650.006262255431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01948571) × cos(-1.43748186) × R
    0.000766990000000245 × 0.132919923514482 × 6371000     		du = 649.512314361036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43748186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.132919923514482)×R²
    abs(2.01948571-2.01871872)×0.000101084328797824×R²
    0.000766990000000245×0.000101084328797824×6371000²
    0.000766990000000245×0.000101084328797824×40589641000000     		ar = 422199.479633271m²