Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6727 / 7625
↖ ↑ ↗
← S 82.361644°
E115.620117°		 ← 649.51 m → S 82.361644°
E115.664063°		 →
↑
649.27 m
↓
↑
649.27 m
↓
S 82.367483°
E115.620117°		 ← 649.02 m →
421 548 m²		 S 82.367483°
E115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82122802734375 y=0.93084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82122802734375 × 213)
    floor (0.82122802734375 × 8192)
    floor (6727.5)     		tx = 6727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93084716796875 × 213)
    floor (0.93084716796875 × 8192)
    floor (7625.5)     		ty = 7625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6727 / 7625 ti = "13/6727/7625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6727/7625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6727 ÷ 213
    6727 ÷ 8192     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7625 ÷ 213
    7625 ÷ 8192     		y = 0.9307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70670910014685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70670910014685))-π/2
    2×atan(0.0667561333755591)-π/2
    2×0.0666572340851829-π/2
    0.133314468170366-1.57079632675     		φ = -1.43748186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43748186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.361644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6727 KachelY 7625 2.01795173 -1.43748186 115.620117 -82.361644
    Oben rechts KachelX + 1 6728 KachelY 7625 2.01871872 -1.43748186 115.664063 -82.361644
    Unten links KachelX 6727 KachelY + 1 7626 2.01795173 -1.43758377 115.620117 -82.367483
    Unten rechts KachelX + 1 6728 KachelY + 1 7626 2.01871872 -1.43758377 115.664063 -82.367483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43748186--1.43758377) × R
    0.000101910000000149 × 6371000     		dl = 649.268610000952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43748186--1.43758377) × R
    0.000101910000000149 × 6371000     		dr = 649.268610000952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01871872) × cos(-1.43748186) × R
    0.000766989999999801 × 0.132919923514482 × 6371000     		do = 649.51231436066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01871872) × cos(-1.43758377) × R
    0.000766989999999801 × 0.132818917094282 × 6371000     		du = 649.018747166108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43748186)-sin(-1.43758377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132919923514482-0.132818917094282)×R²
    abs(2.01871872-2.01795173)×0.000101006420199723×R²
    0.000766989999999801×0.000101006420199723×6371000²
    0.000766989999999801×0.000101006420199723×40589641000000     		ar = 421547.729044236m²