Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6726 / 7626
↖ ↑ ↗
← S 82.367483°
E115.576172°		 ← 649.02 m → S 82.367483°
E115.620117°		 →
↑
648.76 m
↓
↑
648.76 m
↓
S 82.373317°
E115.576172°		 ← 648.53 m →
420 897 m²		 S 82.373317°
E115.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82110595703125 y=0.93096923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82110595703125 × 213)
    floor (0.82110595703125 × 8192)
    floor (6726.5)     		tx = 6726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93096923828125 × 213)
    floor (0.93096923828125 × 8192)
    floor (7626.5)     		ty = 7626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6726 / 7626 ti = "13/6726/7626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6726/7626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6726 ÷ 213
    6726 ÷ 8192     		x = 0.821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7626 ÷ 213
    7626 ÷ 8192     		y = 0.930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821044921875 × 2 - 1) × π
    0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.86181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70747609054077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01718474} λ = 2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70747609054077))-π/2
    2×atan(0.0667049516929633)-π/2
    2×0.0666062793024776-π/2
    0.133212558604955-1.57079632675     		φ = -1.43758377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43758377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.367483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6726 KachelY 7626 2.01718474 -1.43758377 115.576172 -82.367483
    Oben rechts KachelX + 1 6727 KachelY 7626 2.01795173 -1.43758377 115.620117 -82.367483
    Unten links KachelX 6726 KachelY + 1 7627 2.01718474 -1.43768560 115.576172 -82.373317
    Unten rechts KachelX + 1 6727 KachelY + 1 7627 2.01795173 -1.43768560 115.620117 -82.373317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43758377--1.43768560) × R
    0.000101829999999969 × 6371000     		dl = 648.758929999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43758377--1.43768560) × R
    0.000101829999999969 × 6371000     		dr = 648.758929999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01718474-2.01795173) × cos(-1.43758377) × R
    0.000766990000000245 × 0.132818917094282 × 6371000     		do = 649.018747166483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01718474-2.01795173) × cos(-1.43768560) × R
    0.000766990000000245 × 0.13271798858698 × 6371000     		du = 648.52556069278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43758377)-sin(-1.43768560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132818917094282-0.13271798858698)×R²
    abs(2.01795173-2.01718474)×0.000100928507302422×R²
    0.000766990000000245×0.000100928507302422×6371000²
    0.000766990000000245×0.000100928507302422×40589641000000     		ar = 420896.728762615m²