Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6724 / 7612
↖ ↑ ↗
← S 82.285331°
E115.488282°		 ← 655.96 m → S 82.285331°
E115.532227°		 →
↑
655.70 m
↓
↑
655.70 m
↓
S 82.291228°
E115.488282°		 ← 655.46 m →
429 953 m²		 S 82.291228°
E115.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82086181640625 y=0.92926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82086181640625 × 213)
    floor (0.82086181640625 × 8192)
    floor (6724.5)     		tx = 6724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92926025390625 × 213)
    floor (0.92926025390625 × 8192)
    floor (7612.5)     		ty = 7612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6724 / 7612 ti = "13/6724/7612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6724/7612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6724 ÷ 213
    6724 ÷ 8192     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7612 ÷ 213
    7612 ÷ 8192     		y = 0.92919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92919921875 × 2 - 1) × π
    -0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69673822502588))-π/2
    2×atan(0.0674250798939839)-π/2
    2×0.0673231830433996-π/2
    0.134646366086799-1.57079632675     		φ = -1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6724 KachelY 7612 2.01565076 -1.43614996 115.488282 -82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 6725 KachelY 7612 2.01641775 -1.43614996 115.532227 -82.285331
    Unten links KachelX 6724 KachelY + 1 7613 2.01565076 -1.43625288 115.488282 -82.291228
    Unten rechts KachelX + 1 6725 KachelY + 1 7613 2.01641775 -1.43625288 115.532227 -82.291228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43614996--1.43625288) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dl = 655.70332000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43614996--1.43625288) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dr = 655.70332000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01641775) × cos(-1.43614996) × R
    0.000766989999999801 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 655.962307003681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01641775) × cos(-1.43625288) × R
    0.000766989999999801 × 0.134137897817304 × 6371000     		du = 655.463937618793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43614996)-sin(-1.43625288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134137897817304)×R²
    abs(2.01641775-2.01565076)×0.00010198916795981×R²
    0.000766989999999801×0.00010198916795981×6371000²
    0.000766989999999801×0.00010198916795981×40589641000000     		ar = 429953.27164482m²