Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6723 / 7621
↖ ↑ ↗
← S 82.338243°
E115.444336°		 ← 651.50 m → S 82.338243°
E115.488282°		 →
↑
651.24 m
↓
↑
651.24 m
↓
S 82.344100°
E115.444336°		 ← 651 m →
424 123 m²		 S 82.344100°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82073974609375 y=0.93035888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82073974609375 × 213)
    floor (0.82073974609375 × 8192)
    floor (6723.5)     		tx = 6723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93035888671875 × 213)
    floor (0.93035888671875 × 8192)
    floor (7621.5)     		ty = 7621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6723 / 7621 ti = "13/6723/7621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6723/7621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6723 ÷ 213
    6723 ÷ 8192     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7621 ÷ 213
    7621 ÷ 8192     		y = 0.9302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70364113857117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70364113857117))-π/2
    2×atan(0.0669612531165496)-π/2
    2×0.066861441003217-π/2
    0.133722882006434-1.57079632675     		φ = -1.43707344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43707344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.338243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6723 KachelY 7621 2.01488376 -1.43707344 115.444336 -82.338243
    Oben rechts KachelX + 1 6724 KachelY 7621 2.01565076 -1.43707344 115.488282 -82.338243
    Unten links KachelX 6723 KachelY + 1 7622 2.01488376 -1.43717566 115.444336 -82.344100
    Unten rechts KachelX + 1 6724 KachelY + 1 7622 2.01565076 -1.43717566 115.488282 -82.344100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43707344--1.43717566) × R
    0.000102220000000042 × 6371000     		dl = 651.243620000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43707344--1.43717566) × R
    0.000102220000000042 × 6371000     		dr = 651.243620000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(-1.43707344) × R
    0.000767000000000184 × 0.133324708416715 × 6371000     		do = 651.498787186815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(-1.43717566) × R
    0.000767000000000184 × 0.133223400298578 × 6371000     		du = 651.003739292973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43707344)-sin(-1.43717566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133324708416715-0.133223400298578)×R²
    abs(2.01565076-2.01488376)×0.000101308118137494×R²
    0.000767000000000184×0.000101308118137494×6371000²
    0.000767000000000184×0.000101308118137494×40589641000000     		ar = 424123.230572782m²