Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67206 / 67718
↖ ↑ ↗
← S  5.982143°
E  4.586792°		 ← 303.76 m → S  5.982143°
E  4.589539°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  5.984875°
E  4.586792°		 ← 303.76 m →
92 273 m²		 S  5.984875°
E  4.589539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512744903564453 y=0.516651153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512744903564453 × 217)
    floor (0.512744903564453 × 131072)
    floor (67206.5)     		tx = 67206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516651153564453 × 217)
    floor (0.516651153564453 × 131072)
    floor (67718.5)     		ty = 67718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67206 / 67718 ti = "17/67206/67718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67206/67718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67206 ÷ 217
    67206 ÷ 131072     		x = 0.512741088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67718 ÷ 217
    67718 ÷ 131072     		y = 0.516647338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512741088867188 × 2 - 1) × π
    0.025482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08005462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516647338867188 × 2 - 1) × π
    -0.033294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.104598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08005462} λ = 0.08005462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104598314970963))-π/2
    2×atan(0.900686242112059)-π/2
    2×0.733194111728979-π/2
    1.46638822345796-1.57079632675     		φ = -0.10440810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08005462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.586792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10440810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.982143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67206 KachelY 67718 0.08005462 -0.10440810 4.586792 -5.982143
    Oben rechts KachelX + 1 67207 KachelY 67718 0.08010256 -0.10440810 4.589539 -5.982143
    Unten links KachelX 67206 KachelY + 1 67719 0.08005462 -0.10445578 4.586792 -5.984875
    Unten rechts KachelX + 1 67207 KachelY + 1 67719 0.08010256 -0.10445578 4.589539 -5.984875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10440810--0.10445578) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dl = 303.769279999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10440810--0.10445578) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dr = 303.769279999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08005462-0.08010256) × cos(-0.10440810) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994554423900058 × 6371000     		do = 303.762520889926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08005462-0.08010256) × cos(-0.10445578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994549453630985 × 6371000     		du = 303.761002841816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10440810)-sin(-0.10445578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994554423900058-0.994549453630985)×R²
    abs(0.08010256-0.08005462)×4.97026907320119e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.97026907320119e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.97026907320119e-06×40589641000000     		ar = 92273.4917110101m²