Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67202 / 67713
↖ ↑ ↗
← S  5.968485°
E  4.575805°		 ← 303.77 m → S  5.968485°
E  4.578552°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  5.971217°
E  4.575805°		 ← 303.77 m →
92 276 m²		 S  5.971217°
E  4.578552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512714385986328 y=0.516613006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512714385986328 × 217)
    floor (0.512714385986328 × 131072)
    floor (67202.5)     		tx = 67202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516613006591797 × 217)
    floor (0.516613006591797 × 131072)
    floor (67713.5)     		ty = 67713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67202 / 67713 ti = "17/67202/67713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67202/67713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67202 ÷ 217
    67202 ÷ 131072     		x = 0.512710571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67713 ÷ 217
    67713 ÷ 131072     		y = 0.516609191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512710571289062 × 2 - 1) × π
    0.025421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07986287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516609191894531 × 2 - 1) × π
    -0.0332183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.104358630472862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07986287} λ = 0.07986287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104358630472862))-π/2
    2×atan(0.900902148515621)-π/2
    2×0.733313302855436-π/2
    1.46662660571087-1.57079632675     		φ = -0.10416972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07986287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.575805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10416972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.968485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67202 KachelY 67713 0.07986287 -0.10416972 4.575805 -5.968485
    Oben rechts KachelX + 1 67203 KachelY 67713 0.07991081 -0.10416972 4.578552 -5.968485
    Unten links KachelX 67202 KachelY + 1 67714 0.07986287 -0.10421740 4.575805 -5.971217
    Unten rechts KachelX + 1 67203 KachelY + 1 67714 0.07991081 -0.10421740 4.578552 -5.971217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10416972--0.10421740) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dl = 303.769280000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10416972--0.10421740) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dr = 303.769280000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07986287-0.07991081) × cos(-0.10416972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994579239250532 × 6371000     		do = 303.770100136707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07986287-0.07991081) × cos(-0.10421740) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994574280285636 × 6371000     		du = 303.768585541184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10416972)-sin(-0.10421740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994579239250532-0.994574280285636)×R²
    abs(0.07991081-0.07986287)×4.9589648960513e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.9589648960513e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.9589648960513e-06×40589641000000     		ar = 92275.7945777562m²