Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6720 / 7614
↖ ↑ ↗
← S 82.297121°
E115.312500°		 ← 654.97 m → S 82.297121°
E115.356445°		 →
↑
654.68 m
↓
↑
654.68 m
↓
S 82.303009°
E115.312500°		 ← 654.47 m →
428 633 m²		 S 82.303009°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82037353515625 y=0.92950439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82037353515625 × 213)
    floor (0.82037353515625 × 8192)
    floor (6720.5)     		tx = 6720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92950439453125 × 213)
    floor (0.92950439453125 × 8192)
    floor (7614.5)     		ty = 7614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6720 / 7614 ti = "13/6720/7614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6720/7614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6720 ÷ 213
    6720 ÷ 8192     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7614 ÷ 213
    7614 ÷ 8192     		y = 0.929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.85888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.69827220581372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69827220581372))-π/2
    2×atan(0.0673217304051389)-π/2
    2×0.0672203005563321-π/2
    0.134440601112664-1.57079632675     		φ = -1.43635573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43635573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.297121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6720 KachelY 7614 2.01258279 -1.43635573 115.312500 -82.297121
    Oben rechts KachelX + 1 6721 KachelY 7614 2.01334978 -1.43635573 115.356445 -82.297121
    Unten links KachelX 6720 KachelY + 1 7615 2.01258279 -1.43645849 115.312500 -82.303009
    Unten rechts KachelX + 1 6721 KachelY + 1 7615 2.01334978 -1.43645849 115.356445 -82.303009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43635573--1.43645849) × R
    0.000102759999999869 × 6371000     		dl = 654.683959999162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43635573--1.43645849) × R
    0.000102759999999869 × 6371000     		dr = 654.683959999162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(-1.43635573) × R
    0.000766989999999801 × 0.134035976596838 × 6371000     		do = 654.965900258877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(-1.43645849) × R
    0.000766989999999801 × 0.133934143147645 × 6371000     		du = 654.468291792697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43635573)-sin(-1.43645849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134035976596838-0.133934143147645)×R²
    abs(2.01334978-2.01258279)×0.000101833449193234×R²
    0.000766989999999801×0.000101833449193234×6371000²
    0.000766989999999801×0.000101833449193234×40589641000000     		ar = 428632.781480844m²