Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6719 / 7619
↖ ↑ ↗
← S 82.326516°
E115.268555°		 ← 652.48 m → S 82.326516°
E115.312500°		 →
↑
652.26 m
↓
↑
652.26 m
↓
S 82.332382°
E115.268555°		 ← 651.99 m →
425 428 m²		 S 82.332382°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82025146484375 y=0.93011474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82025146484375 × 213)
    floor (0.82025146484375 × 8192)
    floor (6719.5)     		tx = 6719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93011474609375 × 213)
    floor (0.93011474609375 × 8192)
    floor (7619.5)     		ty = 7619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6719 / 7619 ti = "13/6719/7619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6719/7619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6719 ÷ 213
    6719 ÷ 8192     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7619 ÷ 213
    7619 ÷ 8192     		y = 0.9300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70210715778333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70210715778333))-π/2
    2×atan(0.0670640492158234)-π/2
    2×0.0669637775401848-π/2
    0.13392755508037-1.57079632675     		φ = -1.43686877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43686877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.326516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6719 KachelY 7619 2.01181580 -1.43686877 115.268555 -82.326516
    Oben rechts KachelX + 1 6720 KachelY 7619 2.01258279 -1.43686877 115.312500 -82.326516
    Unten links KachelX 6719 KachelY + 1 7620 2.01181580 -1.43697115 115.268555 -82.332382
    Unten rechts KachelX + 1 6720 KachelY + 1 7620 2.01258279 -1.43697115 115.312500 -82.332382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43686877--1.43697115) × R
    0.000102379999999958 × 6371000     		dl = 652.262979999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43686877--1.43697115) × R
    0.000102379999999958 × 6371000     		dr = 652.262979999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(-1.43686877) × R
    0.000766990000000245 × 0.133527548413007 × 6371000     		do = 652.481469350519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(-1.43697115) × R
    0.000766990000000245 × 0.133426084515866 × 6371000     		du = 651.985666697962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43686877)-sin(-1.43697115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133527548413007-0.133426084515866)×R²
    abs(2.01258279-2.01181580)×0.000101463897141135×R²
    0.000766990000000245×0.000101463897141135×6371000²
    0.000766990000000245×0.000101463897141135×40589641000000     		ar = 425427.811108763m²