Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6719 / 7617
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E115.268555°		 ← 653.47 m → S 82.314772°
E115.312500°		 →
↑
653.22 m
↓
↑
653.22 m
↓
S 82.320646°
E115.268555°		 ← 652.98 m →
426 699 m²		 S 82.320646°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82025146484375 y=0.92987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82025146484375 × 213)
    floor (0.82025146484375 × 8192)
    floor (6719.5)     		tx = 6719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92987060546875 × 213)
    floor (0.92987060546875 × 8192)
    floor (7617.5)     		ty = 7617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6719 / 7617 ti = "13/6719/7617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6719/7617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6719 ÷ 213
    6719 ÷ 8192     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7617 ÷ 213
    7617 ÷ 8192     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6719 KachelY 7617 2.01181580 -1.43666379 115.268555 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 6720 KachelY 7617 2.01258279 -1.43666379 115.312500 -82.314772
    Unten links KachelX 6719 KachelY + 1 7618 2.01181580 -1.43676632 115.268555 -82.320646
    Unten rechts KachelX + 1 6720 KachelY + 1 7618 2.01258279 -1.43676632 115.312500 -82.320646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43676632) × R
    0.000102529999999934 × 6371000     		dl = 653.21862999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43676632) × R
    0.000102529999999934 × 6371000     		dr = 653.21862999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(-1.43666379) × R
    0.000766990000000245 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 653.474119505485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(-1.43676632) × R
    0.000766990000000245 × 0.133629080282757 × 6371000     		du = 652.977604150773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43676632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133629080282757)×R²
    abs(2.01258279-2.01181580)×0.000101609748595799×R²
    0.000766990000000245×0.000101609748595799×6371000²
    0.000766990000000245×0.000101609748595799×40589641000000     		ar = 426699.302917884m²