Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67184 / 65008
↖ ↑ ↗
← N  1.450040°
E  4.526367°		 ← 305.33 m → N  1.450040°
E  4.529114°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.447295°
E  4.526367°		 ← 305.33 m →
93 216 m²		 N  1.447295°
E  4.529114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512577056884766 y=0.495975494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512577056884766 × 217)
    floor (0.512577056884766 × 131072)
    floor (67184.5)     		tx = 67184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495975494384766 × 217)
    floor (0.495975494384766 × 131072)
    floor (65008.5)     		ty = 65008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67184 / 65008 ti = "17/67184/65008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67184/65008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67184 ÷ 217
    67184 ÷ 131072     		x = 0.5125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65008 ÷ 217
    65008 ÷ 131072     		y = 0.4959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5125732421875 × 2 - 1) × π
    0.025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07900001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07900001} λ = 0.07900001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0253106829993896))-π/2
    2×atan(1.02563371799024)-π/2
    2×0.798052153880188-π/2
    1.59610430776038-1.57079632675     		φ = 0.02530798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07900001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02530798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.450040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67184 KachelY 65008 0.07900001 0.02530798 4.526367 1.450040
    Oben rechts KachelX + 1 67185 KachelY 65008 0.07904795 0.02530798 4.529114 1.450040
    Unten links KachelX 67184 KachelY + 1 65009 0.07900001 0.02526006 4.526367 1.447295
    Unten rechts KachelX + 1 67185 KachelY + 1 65009 0.07904795 0.02526006 4.529114 1.447295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02530798-0.02526006) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02530798-0.02526006) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07900001-0.07904795) × cos(0.02530798) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99967977016681 × 6371000     		do = 305.327933566293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07900001-0.07904795) × cos(0.02526006) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999680981647959 × 6371000     		du = 305.328303583819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02530798)-sin(0.02526006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99967977016681-0.999680981647959)×R²
    abs(0.07904795-0.07900001)×1.211481149066e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.211481149066e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.211481149066e-06×40589641000000     		ar = 93216.1616675643m²