Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6716 / 7613
↖ ↑ ↗
← S 82.291228°
E115.136719°		 ← 655.46 m → S 82.291228°
E115.180664°		 →
↑
655.26 m
↓
↑
655.26 m
↓
S 82.297121°
E115.136719°		 ← 654.97 m →
429 334 m²		 S 82.297121°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81988525390625 y=0.92938232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81988525390625 × 213)
    floor (0.81988525390625 × 8192)
    floor (6716.5)     		tx = 6716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92938232421875 × 213)
    floor (0.92938232421875 × 8192)
    floor (7613.5)     		ty = 7613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6716 / 7613 ti = "13/6716/7613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6716/7613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6716 ÷ 213
    6716 ÷ 8192     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7613 ÷ 213
    7613 ÷ 8192     		y = 0.9293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6975052154198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6975052154198))-π/2
    2×atan(0.0673733853325461)-π/2
    2×0.0672717222506806-π/2
    0.134543444501361-1.57079632675     		φ = -1.43625288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43625288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.291228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6716 KachelY 7613 2.00951483 -1.43625288 115.136719 -82.291228
    Oben rechts KachelX + 1 6717 KachelY 7613 2.01028182 -1.43625288 115.180664 -82.291228
    Unten links KachelX 6716 KachelY + 1 7614 2.00951483 -1.43635573 115.136719 -82.297121
    Unten rechts KachelX + 1 6717 KachelY + 1 7614 2.01028182 -1.43635573 115.180664 -82.297121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43625288--1.43635573) × R
    0.000102849999999988 × 6371000     		dl = 655.257349999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43625288--1.43635573) × R
    0.000102849999999988 × 6371000     		dr = 655.257349999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.01028182) × cos(-1.43625288) × R
    0.000766989999999801 × 0.134137897817304 × 6371000     		do = 655.463937618793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.01028182) × cos(-1.43635573) × R
    0.000766989999999801 × 0.134035976596838 × 6371000     		du = 654.965900258877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43625288)-sin(-1.43635573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134137897817304-0.134035976596838)×R²
    abs(2.01028182-2.00951483)×0.000101921220466039×R²
    0.000766989999999801×0.000101921220466039×6371000²
    0.000766989999999801×0.000101921220466039×40589641000000     		ar = 429334.391845499m²