Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6712 / 7608
↖ ↑ ↗
← S 82.261699°
E114.960937°		 ← 657.96 m → S 82.261699°
E115.004883°		 →
↑
657.74 m
↓
↑
657.74 m
↓
S 82.267614°
E114.960937°		 ← 657.46 m →
432 603 m²		 S 82.267614°
E115.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81939697265625 y=0.92877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81939697265625 × 213)
    floor (0.81939697265625 × 8192)
    floor (6712.5)     		tx = 6712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92877197265625 × 213)
    floor (0.92877197265625 × 8192)
    floor (7608.5)     		ty = 7608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6712 / 7608 ti = "13/6712/7608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6712/7608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6712 ÷ 213
    6712 ÷ 8192     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7608 ÷ 213
    7608 ÷ 8192     		y = 0.9287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    -0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6936702634502))-π/2
    2×atan(0.0676322550886032)-π/2
    2×0.0675294177819463-π/2
    0.135058835563893-1.57079632675     		φ = -1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6712 KachelY 7608 2.00644687 -1.43573749 114.960937 -82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 6713 KachelY 7608 2.00721386 -1.43573749 115.004883 -82.261699
    Unten links KachelX 6712 KachelY + 1 7609 2.00644687 -1.43584073 114.960937 -82.267614
    Unten rechts KachelX + 1 6713 KachelY + 1 7609 2.00721386 -1.43584073 115.004883 -82.267614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43573749--1.43584073) × R
    0.00010324000000006 × 6371000     		dl = 657.742040000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43573749--1.43584073) × R
    0.00010324000000006 × 6371000     		dr = 657.742040000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00721386) × cos(-1.43573749) × R
    0.000766989999999801 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 657.959540182932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00721386) × cos(-1.43584073) × R
    0.000766989999999801 × 0.134546311679634 × 6371000     		du = 657.459649216609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43573749)-sin(-1.43584073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134546311679634)×R²
    abs(2.00721386-2.00644687)×0.000102300553107421×R²
    0.000766989999999801×0.000102300553107421×6371000²
    0.000766989999999801×0.000102300553107421×40589641000000     		ar = 432603.250927633m²