Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67098 / 43514
↖ ↑ ↗
← N 51.628248°
E  4.290161°		 ← 189.56 m → N 51.628248°
E  4.292907°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.626543°
E  4.290161°		 ← 189.56 m →
35 941 m²		 N 51.626543°
E  4.292907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511920928955078 y=0.331989288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511920928955078 × 217)
    floor (0.511920928955078 × 131072)
    floor (67098.5)     		tx = 67098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331989288330078 × 217)
    floor (0.331989288330078 × 131072)
    floor (43514.5)     		ty = 43514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67098 / 43514 ti = "17/67098/43514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67098/43514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67098 ÷ 217
    67098 ÷ 131072     		x = 0.511917114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43514 ÷ 217
    43514 ÷ 131072     		y = 0.331985473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511917114257812 × 2 - 1) × π
    0.023834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07487744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331985473632812 × 2 - 1) × π
    0.336029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05566640343288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07487744} λ = 0.07487744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05566640343288))-π/2
    2×atan(2.87388968585752)-π/2
    2×1.23593961663738-π/2
    2.47187923327476-1.57079632675     		φ = 0.90108291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07487744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.290161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90108291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.628248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67098 KachelY 43514 0.07487744 0.90108291 4.290161 51.628248
    Oben rechts KachelX + 1 67099 KachelY 43514 0.07492537 0.90108291 4.292907 51.628248
    Unten links KachelX 67098 KachelY + 1 43515 0.07487744 0.90105315 4.290161 51.626543
    Unten rechts KachelX + 1 67099 KachelY + 1 43515 0.07492537 0.90105315 4.292907 51.626543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90108291-0.90105315) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90108291-0.90105315) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07487744-0.07492537) × cos(0.90108291) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		do = 189.556940305975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07487744-0.07492537) × cos(0.90105315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620784662966766 × 6371000     		du = 189.564064876404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90108291)-sin(0.90105315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620761331413628-0.620784662966766)×R²
    abs(0.07492537-0.07487744)×2.33315531373846e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33315531373846e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33315531373846e-05×40589641000000     		ar = 35940.8532719619m²