Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67097 / 43515
↖ ↑ ↗
← N 51.626543°
E  4.287415°		 ← 189.60 m → N 51.626543°
E  4.290161°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.624837°
E  4.287415°		 ← 189.61 m →
35 950 m²		 N 51.624837°
E  4.290161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511913299560547 y=0.331996917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511913299560547 × 217)
    floor (0.511913299560547 × 131072)
    floor (67097.5)     		tx = 67097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331996917724609 × 217)
    floor (0.331996917724609 × 131072)
    floor (43515.5)     		ty = 43515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67097 / 43515 ti = "17/67097/43515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67097/43515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67097 ÷ 217
    67097 ÷ 131072     		x = 0.511909484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43515 ÷ 217
    43515 ÷ 131072     		y = 0.331993103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511909484863281 × 2 - 1) × π
    0.0238189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07482950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331993103027344 × 2 - 1) × π
    0.336013793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05561846653326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07482950} λ = 0.07482950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05561846653326))-π/2
    2×atan(2.8737519237981)-π/2
    2×1.23592473767091-π/2
    2.47184947534182-1.57079632675     		φ = 0.90105315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07482950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.287415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90105315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.626543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67097 KachelY 43515 0.07482950 0.90105315 4.287415 51.626543
    Oben rechts KachelX + 1 67098 KachelY 43515 0.07487744 0.90105315 4.290161 51.626543
    Unten links KachelX 67097 KachelY + 1 43516 0.07482950 0.90102339 4.287415 51.624837
    Unten rechts KachelX + 1 67098 KachelY + 1 43516 0.07487744 0.90102339 4.290161 51.624837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90105315-0.90102339) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90105315-0.90102339) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07482950-0.07487744) × cos(0.90105315) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.620784662966766 × 6371000     		do = 189.603615067315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07482950-0.07487744) × cos(0.90102339) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		du = 189.610740956274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90105315)-sin(0.90102339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620784662966766-0.6208079939701)×R²
    abs(0.07487744-0.07482950)×2.33310033348477e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33310033348477e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33310033348477e-05×40589641000000     		ar = 35949.7029766721m²