Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67085 / 67074
↖ ↑ ↗
← S  4.220421°
E  4.254456°		 ← 304.53 m → S  4.220421°
E  4.257202°		 →
↑
304.60 m
↓
↑
304.60 m
↓
S  4.223161°
E  4.254456°		 ← 304.53 m →
92 760 m²		 S  4.223161°
E  4.257202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511821746826172 y=0.511737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511821746826172 × 217)
    floor (0.511821746826172 × 131072)
    floor (67085.5)     		tx = 67085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511737823486328 × 217)
    floor (0.511737823486328 × 131072)
    floor (67074.5)     		ty = 67074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67085 / 67074 ti = "17/67085/67074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67085/67074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67085 ÷ 217
    67085 ÷ 131072     		x = 0.511817932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67074 ÷ 217
    67074 ÷ 131072     		y = 0.511734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511817932128906 × 2 - 1) × π
    0.0236358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07425426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.023468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0737269516156464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07425426} λ = 0.07425426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0737269516156464))-π/2
    2×atan(0.928925300768791)-π/2
    2×0.748568038519485-π/2
    1.49713607703897-1.57079632675     		φ = -0.07366025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07425426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.254456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07366025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.220421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67085 KachelY 67074 0.07425426 -0.07366025 4.254456 -4.220421
    Oben rechts KachelX + 1 67086 KachelY 67074 0.07430219 -0.07366025 4.257202 -4.220421
    Unten links KachelX 67085 KachelY + 1 67075 0.07425426 -0.07370806 4.254456 -4.223161
    Unten rechts KachelX + 1 67086 KachelY + 1 67075 0.07430219 -0.07370806 4.257202 -4.223161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07366025--0.07370806) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dl = 304.597510000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07366025--0.07370806) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dr = 304.597510000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07425426-0.07430219) × cos(-0.07366025) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997288310215535 × 6371000     		do = 304.533982902696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07425426-0.07430219) × cos(-0.07370806) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99728479056301 × 6371000     		du = 304.532908134456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07366025)-sin(-0.07370806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997288310215535-0.99728479056301)×R²
    abs(0.07430219-0.07425426)×3.51965252465281e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.51965252465281e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.51965252465281e-06×40589641000000     		ar = 92760.1292343547m²