Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67080 / 65048
↖ ↑ ↗
← N  1.340210°
E  4.240722°		 ← 305.34 m → N  1.340210°
E  4.243469°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.337464°
E  4.240722°		 ← 305.34 m →
93 221 m²		 N  1.337464°
E  4.243469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511783599853516 y=0.496280670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511783599853516 × 217)
    floor (0.511783599853516 × 131072)
    floor (67080.5)     		tx = 67080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496280670166016 × 217)
    floor (0.496280670166016 × 131072)
    floor (65048.5)     		ty = 65048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67080 / 65048 ti = "17/67080/65048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67080/65048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67080 ÷ 217
    67080 ÷ 131072     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65048 ÷ 217
    65048 ÷ 131072     		y = 0.49627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49627685546875 × 2 - 1) × π
    0.0074462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0233932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0233932070145874))-π/2
    2×atan(1.02366897424325)-π/2
    2×0.797093700238292-π/2
    1.59418740047658-1.57079632675     		φ = 0.02339107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02339107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.340210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67080 KachelY 65048 0.07401457 0.02339107 4.240722 1.340210
    Oben rechts KachelX + 1 67081 KachelY 65048 0.07406251 0.02339107 4.243469 1.340210
    Unten links KachelX 67080 KachelY + 1 65049 0.07401457 0.02334315 4.240722 1.337464
    Unten rechts KachelX + 1 67081 KachelY + 1 65049 0.07406251 0.02334315 4.243469 1.337464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02339107-0.02334315) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02339107-0.02334315) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.02339107) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999726441395423 × 6371000     		do = 305.34218816074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.02334315) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999727561045435 × 6371000     		du = 305.342530130674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02339107)-sin(0.02334315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999726441395423-0.999727561045435)×R²
    abs(0.07406251-0.07401457)×1.11965001237113e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.11965001237113e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.11965001237113e-06×40589641000000     		ar = 93220.5092898579m²