Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67074 / 67098
↖ ↑ ↗
← S  4.286158°
E  4.224243°		 ← 304.57 m → S  4.286158°
E  4.226990°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.288897°
E  4.224243°		 ← 304.57 m →
92 752 m²		 S  4.288897°
E  4.226990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511737823486328 y=0.511920928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511737823486328 × 217)
    floor (0.511737823486328 × 131072)
    floor (67074.5)     		tx = 67074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511920928955078 × 217)
    floor (0.511920928955078 × 131072)
    floor (67098.5)     		ty = 67098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67074 / 67098 ti = "17/67074/67098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67074/67098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67074 ÷ 217
    67074 ÷ 131072     		x = 0.511734008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67098 ÷ 217
    67098 ÷ 131072     		y = 0.511917114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511734008789062 × 2 - 1) × π
    0.023468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07372695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511917114257812 × 2 - 1) × π
    -0.023834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0748774372065277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07372695} λ = 0.07372695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0748774372065277))-π/2
    2×atan(0.927857200130261)-π/2
    2×0.747994380015637-π/2
    1.49598876003127-1.57079632675     		φ = -0.07480757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07372695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.224243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07480757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.286158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67074 KachelY 67098 0.07372695 -0.07480757 4.224243 -4.286158
    Oben rechts KachelX + 1 67075 KachelY 67098 0.07377489 -0.07480757 4.226990 -4.286158
    Unten links KachelX 67074 KachelY + 1 67099 0.07372695 -0.07485537 4.224243 -4.288897
    Unten rechts KachelX + 1 67075 KachelY + 1 67099 0.07377489 -0.07485537 4.226990 -4.288897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07480757--0.07485537) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07480757--0.07485537) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07372695-0.07377489) × cos(-0.07480757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997203218373085 × 6371000     		do = 304.571530901958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07372695-0.07377489) × cos(-0.07485537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997199644766216 × 6371000     		du = 304.570439430435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07480757)-sin(-0.07485537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997203218373085-0.997199644766216)×R²
    abs(0.07377489-0.07372695)×3.57360686853436e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.57360686853436e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.57360686853436e-06×40589641000000     		ar = 92752.1595000897m²