Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67072 / 67090
↖ ↑ ↗
← S  4.264246°
E  4.218750°		 ← 304.52 m → S  4.264246°
E  4.221496°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.266985°
E  4.218750°		 ← 304.52 m →
92 735 m²		 S  4.266985°
E  4.221496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511722564697266 y=0.511859893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511722564697266 × 217)
    floor (0.511722564697266 × 131072)
    floor (67072.5)     		tx = 67072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511859893798828 × 217)
    floor (0.511859893798828 × 131072)
    floor (67090.5)     		ty = 67090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67072 / 67090 ti = "17/67072/67090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67072/67090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67072 ÷ 217
    67072 ÷ 131072     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67090 ÷ 217
    67090 ÷ 131072     		y = 0.511856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.023712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0744939420095673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0744939420095673))-π/2
    2×atan(0.928213097148013)-π/2
    2×0.748185594073579-π/2
    1.49637118814716-1.57079632675     		φ = -0.07442514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07442514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.264246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67072 KachelY 67090 0.07363108 -0.07442514 4.218750 -4.264246
    Oben rechts KachelX + 1 67073 KachelY 67090 0.07367901 -0.07442514 4.221496 -4.264246
    Unten links KachelX 67072 KachelY + 1 67091 0.07363108 -0.07447294 4.218750 -4.266985
    Unten rechts KachelX + 1 67073 KachelY + 1 67091 0.07367901 -0.07447294 4.221496 -4.266985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07442514--0.07447294) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07442514--0.07447294) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07367901) × cos(-0.07442514) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99723172743385 × 6371000     		do = 304.516704669617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07367901) × cos(-0.07447294) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997228172056238 × 6371000     		du = 304.515618992292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07442514)-sin(-0.07447294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99723172743385-0.997228172056238)×R²
    abs(0.07367901-0.07363108)×3.55537761198566e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.55537761198566e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.55537761198566e-06×40589641000000     		ar = 92735.4639414538m²